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- 2024-05-29 发布
康杰中学2017—2018学年度第一学期期中考试
高二数学（理）试题
2017.11
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a＝( )
A．3 B．－2 C．－2或3 D．－3或2
2.直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
3. 如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )
4．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( )
A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
C．若l∥m，m⊂α，则l∥α D．若l∥α，m⊂α，则l∥m
5. 已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线l：x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
C．(x－2)2＋(y－2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－1)2＝1
6. 正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2，则它的表面积为( )
A．4(3＋4) B．12(＋2)
C．12(2＋1) D．3(＋8)
7. 过点(0，－1)的直线l与半圆C：x2＋y2－4x＋3＝0(y≥0)有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8. 直线l：ax＋by＝0和圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0在同一坐标系的图形只能是( )
9. 已知四边形ABCD，ÐBAD=120º，ÐBCD=60º，AB＝AD＝２，则AC的最大值为（ ）
A． B．４ C． D．８
1
1
2
2
2
2
2
正视图
侧视图
俯视图
10. 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A. B．2 C. D．3
11. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
12. 已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆
C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小
面积是2，则k的值为( )
A．3 B. C．2 D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
14．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
15．已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．
16. 四棱锥底面是一个棱长为2的菱形，且ÐDAB=60º，各侧面和底面所成角均为60º，则此棱锥内切球体积为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
求与点P(4,3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE.
19. （本小题满分12分）
光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
20.（本小题满分12分）
已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形．
(1)证明：PD⊥平面PAB；
(2)求二面角PCBA的余弦值．
21.（本小题满分12分）
如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC＝CP＝2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD.
(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；
(2)若E是PC的中点，求三棱锥APEB的体积．
22.（本小题满分12分）
已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
命题人：李康太
审题人：秦慧明
康杰中学2017—2018学年度第一学期期中考试
高二数学（理）试题答案
2017.11
一、 选择题:（5*12=60）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
B
A
A
B
C
D
B
C
D
D
二、 填空：（5*4=20）
13. 14.
15. 16.
三、 解答题：
17:(本小题满分10分)
解：设所求直线方程为y＝kx或＋＝1(a≠0)．
对于y＝kx,5＝，9k2＋24k＋16＝0，
解之得k＝－.
对于x＋y＝a,5＝，
解之得a＝7＋5或7－5.
故所求直线方程为y＝－x或x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0.
18：(本小题满分12分)
证明：(1)由题设知，B1B⊥AB，
又AB⊥BC，B1B∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.
因为AB⊂平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)取AB中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，
所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE，所以C1F∥平面ABE.
19：(本小题满分12分)
解：设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则
解得A′(－4，－3)．
由于反射光线所在直线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0.
解方程组得反射点P.
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0.
20：(本小题满分12分)
(1)证明：如图，连接BD.
易知在梯形ABCD中，AD＝，而PD＝1，AP＝2，
所以PD2＋AP2＝AD2，
则PD⊥PA，
同理PD⊥PB，
又PA∩PB＝P，故PD⊥平面PAB.
(2)解：如图，取AB的中点M，连接PM，DM，作PN⊥DM，垂足为N，再作NH⊥BC，垂足为H，连接PH.
由(1)，得AB⊥平面DPM，则
平面ABCD⊥平面DPM，所以PN⊥平面ABCD，所以PN⊥BC，PN⊥NH.
又NH⊥BC，PN∩NH＝N，所以BC⊥平面NPH，
即∠NHP是二面角PCBA的平面角．
∴在Rt△HNP中，PN＝，NH＝1，
则PH＝，cos∠NHP＝＝，
即二面角PCBA的余弦值为.
21：(本小题满分12分)
(1) 证明：∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD.
又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC，
∴ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD＝D，故AD⊥平面PCD,
∵AD⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
(2)解：∵AD∥BC，又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离．
又∵PD＝DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC.
由(1)知有AD⊥平面PCD，∴AD⊥DE.
由题意得AD∥BC，故BC⊥DE.
于是，由BC∩PC＝C，可得DE⊥平面PBC.
∴DE＝，PC＝2，
又∵AD⊥平面PCD，
∴AD⊥CP，
∵AD∥BC，∴CP⊥BC，
∴S△PEB＝S△PBC＝×＝，
∴VAPEB＝VDPEB＝×DE×S△PEB＝.
22：(本小题满分12分)
解：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.
因为圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2
＋2＝2＋9.所以当x＝－时，
|PC|＝9.所以|AP|min＝＝2，即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.
设P(x，y)，则
整理可得25x2＋40x＋96＝0，
所以Δ＝402－4×25×96<0.
所以这样的点P是不存在的．