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- 2024-05-28 发布
5 月调研测试卷（文科数学）第 1页 共 8 页
2
0( )P K k≥ 0.050 0.010 0.005 0.001
0k 3.841 6.635 7.879 10.828
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
5 月调研测试卷 文科数学
文科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1． 已知集合 {2 3 5 7}A ， ， ， ， 2{ | log ( 2) 1}B x x ，则 A B
A．{2} B．{3} C．{2 3}， D．{3 5}，
2． 若复数 z 满足 ( i)i 2 iz ，则| |z
A． 2 B． 2 C． 10 D．10
3． 两条平行直线3 4 12 0x y 与 8 11 0ax y 之间的距离为
A． 23
10 B． 7
2 C． 23
5 D． 7
4． 下列说法正确的是
A．“若 2a ，则 2 4a ”的否命题为“若 2a ，则 2 4a ≤ ”
B．命题 p q 与 ( )p q 至少有一个为真命题
C．“ 20 2 2 0x x x ， ≥ ”的否定为“ 20 2 2 0x x x ， ”
D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题
5． 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了 100 位英语学习者进行调查，经
过计算 2K 的观测值为 7 ，根据这一数据分析，下列说法正确的是
附：
A．有 99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关
B．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
C．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
D．在犯错误的概率不超过1% 的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关
6． 斐波那契数列，指的是这样一个数列：1 1 2 3 5 8 13 21 ， ， ， ， ， ， ， ， ，在数学上，斐波那契数列{ }na 定义如
下： 1 2 1 21 ( 3 )n n na a a a a n n Z ， ≥ ， ．随着 n 的增大，
1
n
n
a
a
越来越逼近黄金分割 5 1 0.6182
，
故此数列也称黄金分割数列，而以 1na 、 na 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”
5 月调研测试卷（文科数学）第 2页 共 8 页
的面积约为336 平方分米，则该长方形的长应该是
A．144厘米 B． 233厘米 C． 250 厘米 D．377 厘米
7． 已知 0a b ， ， 2 2a b ，则 1b
a b
的取值范围是
A． (0 ) ， B．[2 ) ， C．[ 2 1 ) ， D．[2 2 ) ，
8． 如图，AB 为半圆O 的直径，在弧 AB 上随机取一点 P ，记 PAB 与半圆的面积之比为 ，则 1 2( )
，
的概率为
A． 1
12
B． 1
6
C． 1
3 D． 1
4
9． 函数 | |e x
xy 的部分图象是
10．定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足： 3 3( ) ( )4 4f x f x ，且当 3(0 )4x ， 时， 2( ) log ( 1)f x x m ，若
2(100) log 3f ，则实数 m 的值为
A． 2 B．1 C． 0 D． 1
11．在锐角 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ， 2 2 29 9 19a b c ，则 tan tan
tan (tan tan )
A B
C A B
A． 4
9
B． 5
9
C． 2
3
D． 7
9
12．若曲线 2cosy ax x 上存在两条切线相互垂直，则实数 a 的取值范围是
A．[ 3 3] ， B．[ 1 1] ， C． ( 1]， D．[ 3 1] ，
13．已知向量 (2 )a m ， ， (1 2)a b ， ，若 // ( 3 )a a b ，则实数
m ．
14．已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格是边长
为1的正方形，则该几何体的体积为 ．
15．已知公差不为 0 的等差数列{ }na 中， 2 4 8a a a， ， 依次成等比数列，
若 1 23 6 nb b ba a a a a ， ， ， ， ， ， 成等比数列，则 5b ．
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
A B C D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分橙子辅导
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16．已知抛物线 2: 2 ( 0)E y px p 的焦点为 F ，以 F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线 E 于 P Q， 两点，以线
段 PF 为直径的圆经过点 (0 1)， ，则点 F 到直线 PQ 的距离为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必
已知函数 2( ) cos( 2 ) 2 3 cos 32f x x x ．
（1）求函数 ( )f x 的单调性；
（2）在 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分别为a b c， ， ，且 ( ) 32
Af ， 3a ， 1c ，求 ABC 的面积．
18．（12 分）
今年 2 月份，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各大医药厂商纷纷加紧生产口罩.
某医疗器械生产工厂为了解目前的生产力，统计了每个工人每小时生产的口罩数量（单位：箱），得到如图所示
的频率分布直方图，其中每个工人每小时的产量均落在区间[10 70]， 内，数据分组为[10 20)， 、[20 30)， 、
[30 40)， 、[40 50)， 、[50 60)， 、[60 70]， ，已知前三组的频率成等差数列，第三组、第四组、第五组的频率
成等比数列，最后一组的频率为 1
15
．
（1）求实数 a 的值；
（2）在最后三组中采用分层抽样的方法随机抽取了 6 人，
现从这 6 人中随机抽出两人对其它小组的工人进行
生产指导，求这两人来自同一小组的概率．
19．（12 分）
如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 底面 ABC ， 190 2ABC AB BC AA ， ， D E， 分别为
1BB 、 1AC 的中点．
（1）证明： DE 平面 1 1ACC A ；
（2）求点 E 到平面 ACD 的距离．
须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答橙子辅导
。（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
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20．（12 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1 2F F、 ，点 2( 1 )2P ， 在椭圆C 上，且 2
3 2| | 2PF ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点 2F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A B， 两点， M 为线段 AB 的中点，若椭圆 C 上存在点 N ，满足
3ON OM （O 为坐标原点），求直线l 的方程．
21．（12 分）
已知函数 2( ) 2 ln 1f x ax ax x a R ， ．
（1）当 1
4a 时，求 ( )f x 的单调区间及极值；
（2）若 a 为整数，且不等式 ( )f x x≥ 对任意 (0 )x ， 恒成立，求 a 的最小值．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2cos
3 2sin
x
y
（ 为参数），以原点 O 为极点， x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 (4sin 3cos ) a ，且直线 l 与曲线C 有两个不同的交点．
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）已知 M 为曲线 C 上一点，且曲线C 在点 M 处的切线与直线 l 垂直，求点 M 的直角坐标．
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ( ) 2| | | 2|f x x x 的最小值为 m ．
（1）求 m 的值；
（2）若实数 a b， 满足 2 2a b m ，求 2 2
1 1
1 2a b
的最小值．
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2020 年普通高等学校招生全国统一考试
5 月调研测试卷 文科数学
参考答案
一、选择题
1～6 BCBBDB 7～12 CBABBA
第 7 题提示：由题知， 2 1 2 1 2 12 2 2
b a b b a b a
a b a b a b
≥ ，当且仅当
2
b a
a b
即 2 2 2 2 2a b ， 时等号成立，故选 C．
第 8 题提示：不妨设 2AB ，则 2sin cos
2
1 2( )
， ， 1 2sin 2 ( )2 2
， ，
故 3 5( ) ( )6 4 4 6
， ， ，故 16
6P
，故选 B．
第 9 题提示：由 | |x
xy e
为奇函数可排除 C 选项，当 0x 时， 1
x
xy e
，故 x
xy e
在 (0 1)， 上单增，(1 ) ，
上单减，故选 A.
第 10 题提示：由 ( )f x 为奇函数知 3 3( ) ( )4 4f x f x ， 3 3( ) ( )4 4f x f x ，即 3( ) ( )2f x f x ，
3( 3) ( ) ( )2f x f x f x ， ( )f x 是周期为 3 的周期函数，
故 2
1 3(100) (1) ( ) log2 2f f f m ，即 2 2
3log log 32 m ， 1m ，故选 B．
第 11 题提示：原式 2 2
sin sin
sin sin cos sin sin cos coscos cos
sin sin sin sin sin( ) sin( )cos cos cos
A B
A B C A B C ab CA B
C A B C A B C c
C A B
，
又 2 2 29 9 19a b c ， 2 2 2 2102 cos 9ab C a b c c ，故原式 5
9
，故选 B．
第 12 题提示： 2sin [ 2 2]y a x a a ， ，由题知在区间 [ 2 2]a a ， 内存在两数之积为 1 ，故只需
( 2)( 2) 1a a ≤ ，即 3 3a- ≤ ≤ ，故选 A．
二、填空题
13． 4 14． 945 2
15．192 16． 4 5
5
第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个 1
8
球，
如图所示， 31 4 93 3 5 3 458 3 2V ．
第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 2
4 4 4( 2 )( 4 )a a d a d ，
即 4 4a d ，故 1a d ， na nd ， 3 63 6a d a d ， ，
故此等比数列首项为3d 、公比为 2 ，
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因此
5
63 2 192ba d d ，故 5 192b ．
第 16 题提示：由题知| | 32P
pFP x p ， 5
2Px p ，设点 (0 1)A ， ，由题知 AP AF ，
即 11 = 15
2 2
Py
p p
- ， 5Py p - ， 2 5
5p ，故所求距离为 5 4 5
2 2 5
p p ．
三、解答题
17．（12 分）
解：（1） ( ) sin 2 3(1 cos2 ) 3 2sin(2 )3f x x x x ， ……2 分
由 2 2 22 3 2k x k ≤ ≤ 得 5
12 12k x k ≤ ≤ ， ……4 分
故 ( )f x 在 5[ ]12 12k k ， 上单增，在 5 11[ ]12 12k k ， 上单减， k Z ；……6 分
（2） ( ) 2sin( ) 32 3
Af A ，则 3sin( )3 2A ， (0 )A ， ，
3 3A ，即 2
3A ，…8 分
由正弦定理得 1 3
sin 3
2
C
， 1sin 2C ，
6C ，故
6B ，
1 3sin2 4ABCS ac B . ……12 分
18．（12 分）
解：（1）由题知，第二、四组的频率均为 0.2 ，第三组频率为10a ，则第五组的频率为 1 21 3 0.2 0.2 15 15
，
故 2 20.2 10 15a ，解得 0.03a ； ……6 分
（2）由（1）知最后三组的频率分别为 1 2 1
5 15 15
， ， ，故所抽取的 6 人中最后三组分别有 3 人、 2 人、1人，
从中随机抽出 2 人，有 15 种不同结果，其中两人来自同一组的结果有 4 种，所求概率为 4
15 . …12 分
19．（12 分）
解：（1）取 AC 的中点 F ，连接 BF EF， ，则 1/ /EF AA 且 1
1
2EF AA ，
/ /EF DB 且 EF DB ，故 / /DE BF ，
由 ABC 为等腰三角形知 BF AC ，
又 1AA 面 ABC ， 1A A BF ，
BF 面 1 1ACC A ，
DE 平面 1 1ACC A ；……6 分
（2） 5AD CD ， 2 2AC ， 6ACDS ， 2ACES ， 2DE BF ，
设点 E 到平面 ACD 的距离为 h ，由 E ACD D ACEV V 得 1 16 2 23 3h ，
6
3h ，即点 E 到平面 ACD 的距离为 6
3 . ……12 分
1B1A
C
BA
E D
1C
F
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20．（12 分）
解：（1）由题知 2
2
1 3 2| | ( 1) 2 2PF c ，故 1c ，又 2 2
1 1 12a b
， 2 2a ， 2 1b ，
所以椭圆C 的方程为
2
2 12
x y ； ……4 分
（2）设 1 1 2 2 0 0( ) ( ) ( )A x y B x y M x y， ， ， ， ， ，则
2
21
1 12
x y ，
2
22
2 12
x y ，
相减得 1 2
1 2( ) 02 AB
x x y y k ，由（1）知 2 (1 0)F ， ，故 0 0
0
0
02 1
x yy x
，
即 2 2
0 0 02 0x x y ①， ……7 分
由 3ON OM 得 0 0(3 3 )N x y， ，由点 N 在椭圆C 上得
2
20
0
9 9 12
x y ②，
由①②得 0 0
2 7
9 9x y ， ……10 分
7
9: ( 1)2 19
l y x
即 7 ( 1)7y x . ……12 分
21．（12 分）
解：（1） 21 1( ) ln 14 2f x x x x ， 1 1 1 ( 1)( 2)( ) 2 2 2
x xf x x x x
（ 0x ）， ( ) 0 1f x x ，故
( )f x 在 (0 1)， 上单减，在 (1 ) ， 上单增， ( )f x 在 1x 处取得极小值 1
4
，无极大值；…4 分
（2） 2( ) (2 1) ln 1 0f x x ax a x x ≥ ≥ ，设 2( ) (2 1) ln 1g x ax a x x ，
( ) 0g x ≥ 在 (0 )x ， 上恒成立， (1) 3 2 0g a ≥ ，即 2
3a≥ ，
1 (2 1)( 1)( ) 2 (2 1) ax xg x ax a x x
，
故 ( )g x 在 1(0 )2a
， 上单减，在 1( )2a
， 上单增， 1 1 1( ) ( ) ln2 4 2g x g a a a
≥ ， ……8 分
由题得 1 1ln 04 2a a
≥ ，即 1ln 2 04a a
≥ ，设 1( ) ln 2h x x x
，则 2
1 1( ) 02h x x x
，
( )h x 单增，又 1(1) 02h ， 1(2) ln 2 04h ，则存在 0 (1 2)x ， 使得 0( ) 0h x ，故
0(2 ) 0 2h a a x≥ ≥ ，即 0
1
2a x≥ ，所以整数 a 的最小值为1. ……12 分
22．（10 分）
解：（1）曲线C 的普通方程为 2 2( 2) ( 3) 4x y ，直线l 的直角坐标方程为 4 3y x a ，由直线l 与圆C 有
两个交点知 | 6 12 | 25
a ，解得8 28a ； ……5 分
（2）设圆C 的圆心为 1O ，由圆C 的参数方程可设点 0 0(2 2cos 3 2sin )M ， ，由题知 1 / /O M l ，
0 0
4 3cos sin5 5
， ，或 0 0
4 3cos sin5 5
， ，故点 2 21( )5 5M ， ，或 18 9( )5 5
， . ……10 分
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23．（10 分）
解：（1） ( ) | | | | | 2 | | | | ( 2) | | | 2 2f x x x x x x x x ≥ ≥ ，当且仅当 0x 时等号成立，
故 2m ； ……5 分
（2） 2 2 2a b ，由柯西不等式得 2 2 2
2 2
1 1( )(1 2 ) (1 1)1 2 a ba b
≥ ，
当且仅当 2 23 1
2 2a b ， 时等号成立， 2 2 2 2
1 1 4 4
1 2 3 5a b a b
≥ ，
故 2 2
1 1
1 2a b
的最小值为 4
5 . ……10 分