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- 2024-05-28 发布
长安一中2017级高二寒假学情检测数学试题（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，那么=（ ）
A． B． C． D．
2. 复数 (为虚数单位)的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3. 函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4. 设非零向量，满足，则（ ）
A． B.⊥ C． ∥ D．
5. 若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
7. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A.9 B． C． D．
8. 函数 的单调递减区间是（ ）
A． B. C． D．
9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩
B． 乙、丁可以知道自己的成绩
C． 乙、丁可以知道对方的成绩
D． 丁可以知道四人的成绩
10. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的S=（ ）
A．
B．
C．
D．
11. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A． B． C． D．
12. 过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的最大值为 .
14. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，
则 .
15. 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 .
16. 的内角的对边分别为，若，则
.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（12分）已知等比数列的各项均为正数，且．
（1）求数列的通项公式．
（2 ）设，求数列的前项和．
18.(12分)如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.
（1）证明：直线平面；
（2）若的面积为，求四棱锥的体积.
19.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1） 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较.附：
p(k2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
20.（12分）设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点，均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．
21.（12分）设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）为直线上一动点，当到曲线的距离最小时，求的直角坐标．
寒假学情检测数学试题（文科）答案
一、选择题
ABCBD CAABC DD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：（1）设数列的公比为，由得所以．
由条件可知，故．由得，所以．
故数列的通项式为=．
（2 ）
故
所以数列的前项和为．
18.解：（1）在平面内，因为，所以.又平面平面，故平面
（2）取的中点，连结.
由及，
得四边形为正方形，则.
因为侧面为等边三角形且垂直于底面，
平面平面，
所以底面.
因为底面，所以.
设，则.取的中点，连结，则，所以
因为的面积为，所以，
解得（舍去），.
于是.
所以四棱锥的体积
19. 解：（1）旧养殖法的箱产量低于的频率为
因此，事件的概率估计值为0.62
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.
20. 解：(1)设椭圆的焦距为，由已知得，又由，可得
由，从而．
所以，椭圆的方程为．
(2)设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意，，
点的坐标为 由的面积是面积的2倍，
可得，从而，即．
易知直线的方程为，由方程组 消去y，
可得．由方程组消去，可得．
由，可得，两边平方，整理得，
解得，或．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，，符合题意．
所以，的值为．
21. 解：（1）令得
当时，；当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
（2）
当时，设函数，因此在单调递减，而，故，所以
当时，设函数，所以在单调递增，而，故
当时，，，
取，则，故
当时，取，则
综上，的取值范围是.
22. 解：（Ⅰ）由，
从而有．
（Ⅱ）设，
则，
故当=0时，||取最小值，此时点的直角坐标为.