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- 2024-05-27 发布
北仑中学2016学年第二学期高二年级期中考试数学试卷
命题：贺波 审题：柯懿
一． 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的．
1.已知函数则的值为( )
A．-20 B．-10 C．10 D．20
2．从一批产品中取出三件，设=“三件产品全不是次品”，=“三件产品全是次品”，
=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．任两个均互斥 D．任两个均不互斥
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3．二项式的展开式中的有理项共有（ ）
A．4项 B．5项 C．6项 D．7项
4．2017年4月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊
肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件=“取到的两个为同一种馅”，事件=
“取到的两个都是豆沙馅”，则（ ）
A． B． C． D．
5. 设函数在定义域内可导，它的图象如下图所示，则它的导函数图象可能为( )
x
y
O
B
x
y
O
A
x
y
O
C
y
O
D
x
x
y
O
6.已知，若~,则和分别是（ ）
A. 6和2.4 B. 2和2.4 C. 2和5.6 D. 6和5.6
7．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面
有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所
就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的
概率是( )
A. B. C. D.
8.已知可导函数满足，则当时，大小关
系为 （ ）
A. B. C. D.
9．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人【来源：全,品…中&高*考+网】
参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数
为( )
A．360 B．520 C．600 D．720
10.设函数，若存在唯一的整数使得，则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题: 本大题共7小题, 多空每空3分，单空每题4分, 共36分．把答案填在答题
卷的相应位置．
11．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题。甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响。
⑴记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为____________；
⑵记乙能答对的题数为Y，则Y的期望为_________．
12.若函数在处的切线与直线平行，则实数____；
当时，若方程有且只有一个实根，则实数的取值范围为_________.
13.若，其中，则实数______；_________.
14.甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击．①求前3次射击中甲恰好击中2次的概率____________；②求第4次由甲射击的概率________．
15.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的
两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种
（用数字作答）．
16．关于二项式(x－1)2005有下列命题：
①该二项展开式中非常数项的系数和是1；
②该二项展开式中第六项为x1999；
③该二项展开式中系数最大的项是第1002项；
④当x=2006时，(x－1)2005除以2006的余数是2005。
其中正确命题的序号是 。（注：把你认为正确的命题序号都填上）
17. 如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点
在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作【来源：全,品…中&高*考+网】
为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有
_____个．
三． 解答题: 本大题共5小题,共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.（本小题满分14分）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
（1）有女生但人数必须少于男生；
（2）男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表；
（3）女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表.
19．（本小题满分15分）已知 ,,其中是自然
常数
（1）当时, 求的单调区间、极值；
（2）是否存在，使的最小值是3，若存在求出的值，若不存在，说明理由.
20.（本小题满分15分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
21.（本小题满分15分）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含的项；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
22.（本小题满分15分）已知函数.
（1）若p=2，求曲线处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内是增函数，求正实数p的取值范围；
（3）设函数，若在[1,e]上至少存在一点，使得成立，求实
数p的取值范围.
北仑中学2016学年第二学期高二年级期中考试数学试卷答案
一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
D
B
C
B
C
D
二、填空题（本题共7小题，多空每空3分，单空每题4分, 共36分）
X
1
2
3
P
0.2
0.3
0.2
11.
12. 13. 14. ,
15. 630 16. 1，4 17. 312
班级 学号 姓名
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤)
18．(本小题14分)
解：（1）种.【来源：全,品…中&高*考+网】
（2）种.
（3）种.
19．(本小题15分)
解：（1），
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增
∴的极小值为
（2）假设存在实数，使（）有最小值3，
① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件.
③ 当时，在上单调递减，，（舍去）
所以，此时无最小值.
综上，存在实数，使得当时有最小值3.
20．(本小题15分)
解：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)
＝2＋×2＋××2＝.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P
E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
21．(本小题15分)
解：由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)通项公式＝ ＝，
令－2k＝，则k＝1，故展开式中含的项为T2＝－16.
(3)设展开式中的第k项，第k＋1项，第k＋2项的系数绝对值分别为
，，，
若第k＋1项的系数绝对值最大，则解得5.
又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792.
由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝1 120.
22．（本小题15分）
解: （1）, 切线方程为：
（2）
由题意：,故p的取值范围是
(3)
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