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- 2024-05-26 发布
福建省闽侯第六中学 8 2017-2018 学年高二上学期期末考试
试题数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2.设等差数列的前项和为，已知，则（ ）=
A．-27 B．27 C．-54 D．54
3.焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（ ）
A． B． C． D．
4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C. D．
5.直三棱柱中，分别是,的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C. D．
6.已知等比数列中，，则其前三项的和的取值范围是( )
A． B． C. D．
7.展开式中的系数为（ ）
A．92 B．576 C. 192 D．384
8. 60° 的二面角的棱上有两点，直线
分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知,则的长为（ ）
A． B． C. D．
9.已知不等式对任意恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
10.设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B． C. D．
11.设数列的前项和，若，且，则等于（ ）
A．5048 B．5050 C.10098 D．10100
12.已知双曲线的上焦点为，是双曲线下支上的一点，线段与圆相切于点，且,则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知命题：，使，则是 ．
14.已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于 ．
15.已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 ．
16.如图，在直三棱柱中，,已知与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知，命题，命题已知方程表示双曲线.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题为真命题，命题为假命题，求实数 的取值范围．
18. 在长方体中，为中点.
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
19. 已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若数列是单调递增数列，求实数的取值范围.
20. 如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且平面平面，为中点，.
(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的平面角大小满足，求四棱锥的体积.
21. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.
(1)求该抛物线的方程；
(2)过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.
22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相较于两点，且的面积为，求直线的方程.
试卷答案
一、选择题
1-5: DADAA 6-10:DBBBD 11、12：CB
二、填空题
13. 14. 15.6 16.
三、解答题
17.解：（1）若为真命题时：，，；
（2）若为真命题时：，，
为真命题，为假命题，则一真一假，即
或，
解得或，的范围为 .
18.（1）证明：连结
∵是长方体，∴平面
又平面中，
在长方形中，
又,∴平面,
而平面,∴
（2）如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则
,
设平面的法向量为，则
令，则
∴
所以与平面所成角的正弦值为.
19.解（1）因为数列满足，所以，
即，又，所以，
所以数列是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列.
（2）由（1）可得，所以，
因为符合，所以.
因为数列是单调递增数列，所以，即，
化为，所以.
20.证明：（1）取中点为，中点为，
由侧面为正三角形，且平面平面,得平面，故,
又,则平面,
又,则,
又是中点，则,
由线面垂直的判定定平面.
又平面,故平面平面.
(2)如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则令，则
由(1)知为平面的法向量，
令为平面的法向量，由于，
故即，解得，故，
由，解得.
故四棱锥的体积.
21.解：(1)抛物线的焦点，∴直线的方程为：
联立方程组，消元得：
，解得.
∵，∴抛物线的方程为：.
(2)设 两点坐标分别为，则点的坐标为
由题意可设直线的方程为.
由，得.
因为直线与曲线于两点，所以.
所以点得坐标为.
由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.
当时，有，此时直线的斜率.
所以，直线的方程为，整理得.
于是，直线恒过定点；
当时，直线的方程为，也过点.
综上所述，直线恒过定点.
22.解：(1)
(2)设代入，得
，∴，∴
，故所求直线方程为：