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- 2024-05-25 发布
5 月调研测试卷（理科数学）第 1页 共 8 页
2
0( )P K k≥ 0.050 0.010 0.005 0.001
0k 3.841 6.635 7.879 10.828
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
5 月调研测试卷 理科数学
理科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1． 已知集合 {2 3 5 7}A ， ， ， ， 2{ | log ( 2) 1}B x x ，则 A B
A．{2} B．{3} C．{2 3}， D．{3 5}，
2． 若复数 z 满足 ( i)i 2 iz ，则| |z
A． 2 B． 2 C． 10 D．10
3． 下列说法正确的是
A．“若 2a ，则 2 4a ”的否命题为“若 2a ，则 2 4a ≤ ”
B．命题 p q 与 ( )p q 至少有一个为真命题
C．“ 20 2 2 0x x x ， ≥ ”的否定为“ 20 2 2 0x x x ， ”
D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题
4． 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了 100 位英语学习者进行调查，经
过计算 2K 的观测值为 7 ，根据这一数据分析，下列说法正确的是
附：
A．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关
B．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
C．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
D．在犯错误的概率不超过1% 的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关
5． 斐波那契数列，指的是这样一个数列：1 1 2 3 5 8 13 21 ， ， ， ， ， ， ， ， ，在数学上，斐波那契数列{ }na 定义如
下： 1 2 1 21 ( 3 )n n na a a a a n n Z ， ≥ ， ．随着 n 的增大，
1
n
n
a
a
越来越逼近黄金分割 5 1 0.6182
，
故此数列也称黄金分割数列，而以 1na 、 na 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”
的面积约为336 平方分米，则该长方形的长应该是
A．144厘米 B． 233厘米 C． 250 厘米 D．377 厘米
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6． 在 3 101( )x x
x
的展开式中，常数项为
A． 252 B． 45 C． 45 D． 252
7． 已知 0a b ， ， 2 2a b ，则 1b
a b
的取值范围是
A． (0 ) ， B．[2 ) ， C．[ 2 1 ) ， D．[2 2 ) ，
8． 函数 | |e x
xy 的部分图象是
9． 定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足： 3 3( ) ( )4 4f x f x ，且当 3(0 )4x ， 时， 2( ) log ( 1)f x x m ，若
2(100) log 3f ，则实数 m 的值为
A． 2 B．1 C． 0 D． 1
10．已知抛物线 2: 2 ( 0)E y px p 的焦点为 F ，以 F 为圆心、 3p 为半径的圆交抛物线 E 于 P Q， 两点，以
线段 PF 为直径的圆经过点 (0 1)， ，则点 F 到直线 PQ 的距离为
A． 2 5
5 B． 2 3
3 C． 4 5
5 D． 2 3
11．已知 ABC 的面积为1，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ，若 sin sin 2 sin sina A b B c B c C ，
3 2cos cos 5B C ，则 a
A． 5
2 B．
10
2 C． 5 D． 10
12．已知 A，B，C，D 四点均在球 O 的球面上， ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 D 在平面 ABC 上的射影
为 ABC 的中心， E 为线段 AD 的中点，若 BD CE ，则球 O 的表面积为
A．36 B． 42 C．54 D． 24 6
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分橙子辅导。
13．已知向量 a (2 m)
， ， (1 2)a b ， ，若 // ( 3 )a a b ，
则实数 m _________．
14．已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格
是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_________．
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
A B C D
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15．已知公差不为 0 的等差数列{ }na 中， 2 4 8a a a， ， 依次成等比数列，若 1 23 6 nb b ba a a a a ， ， ， ， ， ， 成等比数
列，则bn ．
16. 若曲线 y ax 2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数 a 的取值范围是 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答橙子辅导。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
已知函数 ( ) cos( 2 ) 2 3 cos 2 32f x x x ．
（1）求函数 ( )f x 的单调性；
（2）在 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分别为a b c， ， ，且 ( ) 32
Af ， 3a ， 1c ，求 ABC 的面积．
18．（12 分）
国庆 70 周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，
筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[165 175]， 内．现从全体受阅女兵中随机抽取 200
人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[165 167)， ，[167 169)， ，[169 171)， ，[171 173)， ，[173 175]，
五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为 75，最后三组的频率之和为 0.7 ．
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数
x 和方差 2s （同一组中的数据用该组区间
的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高
X (cm )近似服从正态分布 2( )N ， ，
其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似
为样本方差 2s ．
（ⅰ）求 (167.86 174.28)P X ；
（ⅱ）若从全体受阅女兵中随机抽取10 人，求这10人中至少有1人的身高在174.28 cm 以上的概率．
参考数据：若 X ～ 2( , )N ，则 ( ) 0.6826P X ， ( 2 2 ) 0.9544P X ，
115 10.7 ， 100.9544 0.63 ， 90.9772 0.81 ， 100.9772 0.79 ．
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19．（12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中， //AB CD ， AB AP ， 3 4 5 6AB AD BC CD ， ， ， ．过直线 AB
的平面分别交棱 PD PC， 于 E F， 两点．
（1）求证： PD EF ；
（2）若直线 PC 与平面 PAD 所成角为 π
3
，且 PA PD ， EF AB ，
求二面角 A BD F 的余弦值．
20．（12 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 3
3
，且点 2 3(1 )3
， 在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点 F 作斜率为1的直线与椭圆 C 交于 M N， 两点，点 P 满足 2OP OM （O 为坐标
原点），直线 NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若 NQ NP ，求 的值．
21．（12 分）
已知函数 21( ) ln 2f x x ax ， a R ．
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）若不等式 1( ) e e 2
xf x a 对 (1 )x ， 恒成立，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2cos
3 2sin
x
y
（ 为参数），以原点 O 为极点， x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 (4sin 3cos ) a ，且直线 l 与曲线C 有两个不同的交点．
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）已知 M 为曲线 C 上一点，且曲线C 在点 M 处的切线与直线 l 垂直，求点 M 的直角坐标．
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ( ) 2| | | 2|f x x x 的最小值为 m ．
（1）求 m 的值；
（2）若实数 a b， 满足 2 2a b m ，求 2 2
1 1
1 2a b
的最小值．
P
F
C
BA
D
E
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2020 年普通高等学校招生全国统一考试
5 月调研测试卷 理科数学
参考答案
一、选择题
1～6 BCBDBC 7～12 CABCDC
第 7 题提示：由题知， 2 1 2 1 2 12 2 2
b a b b a b a
a b a b a b
≥ ，当且仅当
2
b a
a b
即 2 2 2 2 2a b ， 时等号成立，故选 C．
第 8 题提示：由 | |x
xy e
为奇函数可排除 C 选项，当 0x 时， 1
x
xy e
，故 x
xy e
在 (0 1)， 上单增，(1 ) ，
上单减，故选 A．
第 9 题提示：由 ( )f x 为奇函数知 3 3( ) ( )4 4f x f x ， 3 3( ) ( )4 4f x f x ，即 3( ) ( )2f x f x ，
3( 3) ( ) ( )2f x f x f x ， ( )f x 是周期为3 的周期函数，
故 2
1 3(100) (1) ( ) log2 2f f f m ，即 2 2
3log log 32 m ， 1m ，故选 B．
第 10 题提示：由题知| | 32P
pFP x p ， 5
2Px p ，设点 (0 1)A ， ，由题知 AP AF ，即 11 = 15
2 2
Py
p p
- ，
5Py p - ， 2 5
5p ，故所求距离为 5 4 5
2 2 5
p p ，故选 C．
第 11 题提示：由 sin sin 2 sin sina A b B c B c C 得 2 2 22a b cb c ，则
2 2 2 2cos 2 2
b c aA bc
，
故 3
4A ，由 cos cos( ) sin sin cos cosA B C B C B C 得 2sin sin 10B C ，
由正弦定理知 2sin sin
b c aB C
，即 2 sin 2 sinb a B c a C ， ，
2 21 1 2 1sin 2 sin sin2 2 2 10S bc A a B C a ，
所以 10a ，故选 D．
第 12 题提示：设 ABC 的中心为G ，延长 BG 交 AC 于 F ，则 F 为 AC 中点，连接 DF ．
由题知 DG 平面 ABC ， AC GB ，由三垂线定理得 AC BD ，
又 BD CE ， BD 平面 ACD ，又 D ABC 为正三棱锥，
DA DB DC ， ， 两两垂直，
故三棱锥 D ABC 可看作以 DA DB DC， ， 为棱的正方体的一部分，
二者有共同的外接球，由 6AB 得 3 2DA ，
故正方体外接球直径为3 2 3 3 6 ，
所以球O 的表面积为 24 54R ，故选 C．
二、填空题
13． 4 14． 945 2
15． 13 2n 16．[ 3 3] ，
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第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个 1
8
球，
如图所示， 31 4 93 3 5 3 458 3 2V ．
第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 2
4 4 4( 2 )( 4 )a a d a d ，
即 4 4a d ，故 1a d ， na nd ， 3 63 6a d a d ， ，
故此等比数列首项为3d 、公比为 2 ，
因此 13 2n
n
ba d ，故 13 2n
nb ．
第 16 题提示： 2sin [ 2 2]y a x a a ， ，由题知在区间[ 2 2]a a ， 内存在两数之积为 1 ，
故只需 ( 2)( 2) 1a a ≤ ，即 3 3a- ≤ ≤ ．
三、解答题
17．（12 分）
解：（1） ( ) sin 2 3(1 cos2 ) 3 2sin(2 )3f x x x x ，……2 分
由 2 2 22 3 2k x k ≤ ≤ 得 5
12 12k x k ≤ ≤ ，……4 分
故 ( )f x 在 5[ ]12 12k k ， 上单增，在 5 11[ ]12 12k k ， 上单减， k Z ；……6 分
（2） ( ) 2sin( ) 32 3
Af A ，则 3sin( )3 2A ， (0 )A ， ，
3 3A ，即 2
3A ，……8 分
由正弦定理得 1 3
sin 3
2
C
， 1sin 2C ，
6C ，故
6B ，
1 3sin2 4ABCS ac B . ……12 分
18．（12 分）
解：（1）由题知五组频率依次为 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075， ， ， ， ，
故 0.1 166 0.2 168 0.375 170 0.25 172 0.075 174 170x ， ……2 分
2 2 2 2 2(170 166) 0.1 (170 168) 0.2 (170 172) 0.25 (170 17 4) 0.075 4.6s ；…4 分
（2）由题知 115170 4.6 2.145
， = ， ……5 分
（ⅰ） 0.9544 0.6826(167.86 174.28) ( 2 ) 0.6826 0.81852P X P X ，
……8 分
（ⅱ） 1 0.9544( 174.28) 0.02282P X ，故 10 人中至少有 1 人的身高在174.28 cm 以上的概率
10 101 (1 0.0228) 1 0.9772 1 0.79 0.21P . ……12 分
19．（12 分）
解：（1） / /AB DC ， AB 平面 PDC ， //AB 平面 PDC ，
又面 ABFE 面 PDC EF ， / /AB EF ，
取 DC 中点G ，连接 BG ，则 ABGD 为平行四边形，
4BG ，又 3 5GC BC ， ，故 90BGC ，
AD DC ， AB AD ，又 AB AP ，
AB 平面 PAD ， EF 平面 PAD ，
EF PD ； ……6 分
y
x
O
z
G
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（2）由（1）知CD 平面 PAD ， CPD 即为直线 PC 与平面 PAD 所成角，
3CPD ， 6 3PD
，即 2 3PD ，又 1
2EF AB DC ，
E F ， 分别为 PD PC， 的中点，取 AD 中点O ，连接 PO ，则 PO AD ，
由CD 平面 PAD 可得CD PO ，故 PO 平面 ABCD ， ……7 分
以O 为原点，OA AB OP
， ， 分别为 x y z， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 (2 0 0) ( 2 0 0) (2 3 0)A D B， ， ， ， ， ， ， ， ， ( 2 6 0) (0 0 2 2)C P ， ， ， ， ， ，
故 ( 1 3 2) (4 3 0) (1 3 2)F DB DF ， ， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 DBF 的法向量为 ( )m x y z ， ， ，则 4 3 0
3 2 0
x y
x y z
，
令 3x 得 9 2(3 4 )2m ， ， ，……9 分
显然 (0 0 1)n ， ， 是平面 ABD 的一个法向量，
9 2
92cos
131 131
2
m n ， ， ……11 分
由题知二面角 A BD F 的余弦值为 9 131
131
． ……12 分
20．（12 分）
解：（1）由题知 3
3
c
a
，故
2
2
2
3
b
a
，又 2 2
1 4 13a b
， 2 3a ， 2 2b ，
所以椭圆C 的方程为
2 2
13 2
x y ； ……4 分
（2）设 1 1 2 2( ) ( )M x y N x y， ， ， ，由 2OP OM 得 1 1(2 2 )P x y， ，
由 NQ NP 得 2 2( )Q Qx x y y ， 1 2 1 2(2 2 )x x y y ， ，
1 2 1 22 (1 ) 2 (1 )Q Qx x x y y y ， ，又点 Q 在椭圆C 上，
故
2 2
1 2 1 2[2 (1 ) ] [2 (1 ) ] 13 2
x x y y ，
即
2 2 2 2
2 21 1 2 2 1 2 1 24 ( ) (1 ) ( ) 4 (1 )( ) 13 2 3 2 3 2
x y x y x x y y ，
2 2 1 2 1 24 (1 ) 4 (1 )( ) 13 2
x x y y ， ……8 分
由题知直线 : 1MN y x ，与椭圆C 的方程联立得 25 6 3 0x x ，则 1 2 1 2
6 3
5 5x x x x ， ，
1 2 1 2 1 2 1 2
3 6 4( 1)( 1) ( ) 1 15 5 5y y x x x x x x ，……10 分
2 1 25 2 4 (1 )( ) 05 5
，解得 22
37
或 0 ，
又 N Q， 不重合， 0 ，故 22
37
. …12 分
5 月调研测试卷（理科数学）第 8页 共 8 页
21．（12 分）
解：（1）
21 1( ) axf x axx x
（ 0x ），当 0a≥ 时 ( ) 0f x ， ( )f x 在 (0 ) ， 上单增，
当 0a 时 1( ) 0 0f x x
a
， ( )f x 在 1(0 )
a
， 上单增，在 1( )
a
， 上单减；……4 分
（2） 2 21 1 1 1ln ln 02 2 2 2
x xx ax e e a e ax x e a ，令 21 1( ) ln2 2
xg x e ax x e a ，
(1) 0g ， 1( ) xg x e ax x
，若 (1) 0g 即 1a e ，则存在 0 1x 使得当 0(1 ]x x ， 时 ( ) 0g x ，
( )g x 单减， 0( ) (1) 0g x g ，与题意矛盾，故 1a e ≤ ， ……7 分
当 1a e ≤ 时 ， (1 )x ， ， 2
1( ) 1 2xg x e a e ax
≥ ， ( )g x 单 增 ，
( ) (1) 0g x g ≥ ， ( )g x 单增， ( ) (1) 0g x g ，符合题意， 1a e ≤ . ……12 分
22．（10 分）
解：（1）曲线C 的普通方程为 2 2( 2) ( 3) 4x y ，直线l 的直角坐标方程为 4 3y x a ，由直线l 与圆C 有
两个交点知 | 6 12 | 25
a ，解得8 28a ； ……5 分
（2）设圆C 的圆心为 1O ，由圆C 的参数方程可设点 0 0(2 2cos 3 2sin )M ， ，由题知 1 / /O M l ，
0 0
4 3cos sin5 5
， ，或 0 0
4 3cos sin5 5
， ，故点 2 21( )5 5M ， ，或 18 9( )5 5
， . ……10 分
23．（10 分）
解：（1） ( ) | | | | | 2 | | | | ( 2) | | | 2 2f x x x x x x x x ≥ ≥ ，当且仅当 0x 时等号成立，
故 2m ；……5 分
（2） 2 2 2a b ，由柯西不等式得 2 2 2
2 2
1 1( )(1 2 ) (1 1)1 2 a ba b
≥ ，当且仅当 2 23 1
2 2a b ， 时
等号成立， 2 2 2 2
1 1 4 4
1 2 3 5a b a b
≥ ，故 2 2
1 1
1 2a b
的最小值为 4
5 . ……10 分