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- 2024-05-23 发布
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
圆锥曲线的定义及标准方程 共研典例 类题通法
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后定量”
所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
(1)(2016·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|＋|＝2，则∠F1PF2＝( )
A. B.
C. D.
(3)设抛物线y＝x2上的一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为________．
【解析】 (1)由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
(2)法一：设∠F1PF2＝θ，根据余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ，即12＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ.由|＋|＝2，得12＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|cos θ.两式相减得4|PF1|·|PF2|cos θ＝0，cos θ＝0，θ＝.
法二：因为＋＝2，O为坐标原点，|＋|＝2，所以||＝，又|OF1|＝|OF2|＝，所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝.
(3)抛物线的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1，x轴与准线间的距离为1，故点P到抛物线准线的距离为4＋1＝5，所以点P到该抛物线焦点的距离为5.
【答案】 (1)A (2)D (3)5
(1)圆锥曲线定义的应用
①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解．
②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．
(2)圆锥曲线方程的求法
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．
①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
②计算．即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．
[题组通关]
1．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
A [解析] 依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.
2．(2016·兰州实战考试)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线C的渐近线交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝4x
A [解析] 因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，所以b＝a，
故双曲线的渐近线方程是y＝±x.又抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，故|AB|＝p.又△OAB的面积为4，x轴是∠AOB的角平分线，所以××p＝4，得p＝4.则抛物线的方程为y2＝8x，故选A.
3．(2016·贵州适应性考试)在一次导弹实验中，为了确定爆炸点的位置，设立了A，B，C三个观测点．已知B在A的正西方向4a米处，C在A的正南方向a米处．实验中，在B，C两点听到导弹着地时的爆炸声比在A点分别晚2秒和1秒，且声速v＝a米/秒，则此导弹爆炸点离A点的距离为( )
A．a米 B．2a米
C．3a米 D．4a米
C [解析] 以BA所在直线为x轴，AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(2a，0)，B(－2a，0)，C(2a，－a)，设爆炸点为P(x，y)(x>0)，由|PB|－|PA|＝2a，得点P的轨迹方程是－＝1(x>0)，则由|PC|－|PA|＝a得－＝a，化简得x＝2a，则PA⊥x轴，|PA|＝＝3a，选项C正确．
圆锥曲线的几何性质 共研典例 类题通法
1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ ；
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝ .
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
(1)(2016·广州市高考模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为( )
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．4x±3y＝0 D．3x±4y＝0
(2)(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
【解析】 (1)双曲线的右焦点到左顶点的距离等于a＋c，右焦点到渐近线y＝±x的距离为＝b，a＋c＝2b，c＝2b－a，a2＋b2＝c2＝(2b－a)2，所以3b＝4a，＝，所以所求渐近线方程为4x±3y＝0.
(2)由题意可得B，C，F(c，0)，则由∠BFC＝90°得·＝·＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝.
【答案】 (1)C (2)
圆锥曲线性质的应用
(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．
(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
[注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．
[题组通关]
1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A．4＋2 B．2
C. D.＋1
D [解析] 因为MF1的中点P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1，故选D.
2．已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝4px(p>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率是________．
[解析] 依题意，抛物线y2＝4px(p>0)的焦点F(p，0)也是椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点，所以a2＝b2＋p2.因为点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，横坐标为p，代入抛物线方程得A(p，2p)或A(p，－2p)，将其代入椭圆方程中得＋＝1，又a2＝b2＋p2，所以＋＝1.而椭圆的离心率e＝，e2＝，所以＋＝＋＝e2＋＝1，得e2＝3±2.又因为椭圆离心率的取值范围为(0，1)，所以e2＝3－2＝(－1)2，即e＝－1.
[答案] －1
直线与圆锥曲线 高频考点 多维探明
1．直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y)得到方程Ax2＋Bx＋C＝0.
①若A＝0，则：
圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点．
②若A≠0，则：
当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长
设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝·|x1－x2|＝|y1－y2|，
其中|x1－x2|＝.
研究直线与圆锥曲线的位置关系
(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
【解】 (1)由已知得M(0，t)，P.
又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝.因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．
由直线与圆锥曲线的位置关系研
究直线或圆锥曲线的方程及性质
(2016·河北三市第二次联考)已知离心率为的椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|＝.
(1)求此椭圆的方程；
(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C、D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1，0)，求k的值．
【解】 (1)设焦距为2c，
因为e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以＝，
因为＝，
所以b＝1，a＝，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0，解得k2>1.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
若以CD为直径的圆过E点，则·＝0，即(x1＋1)·(x2＋1)＋y1y2＝0，而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
则(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝－＋5＝0，
解得k＝，满足k2>1.
解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤
(1)设方程及点的坐标；
(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；
(3)应用根与系数的关系及判别式；
(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．
[跟踪训练]
已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且经过点(，1)，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x＝－4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，切点分别为P、Q，当∠PMQ＝60°时，求直线PQ的方程．
[解] (1)由题意可得e＝＝，
因为椭圆E经过点(，1)，所以＋＝1，
又a2－b2＝c2，解得a＝2，b＝2，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)法一：连接OM，OP，OQ，OM与PQ交于点A，依题意可设M(－4，m)．
由圆的切线性质及∠PMQ＝60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP＝30°，
因为|OP|＝2，所以|OM|＝4，
所以＝4，又m>0，
解得m＝4，所以M(－4，4)，
所以直线OM的斜率kOM＝－1，
由MP＝MQ，OP＝OQ可得OM⊥PQ，
所以直线PQ的斜率kPQ＝1，
设直线PQ的方程为y＝x＋n，
因为∠OMP＝30°，所以∠POM＝60°，所以∠OPA＝30°，
由|OP|＝2知|OA|＝，即点O到直线PQ的距离为，
所以＝，解得n＝±2(舍去负值)，
所以直线PQ的方程为x－y＋2＝0.
法二：同法一求得M(－4，4)，
设P(x1，y1)，则由圆的切线性质知∠OPM为直角，故有kOP·kPM＝－1，
即·＝－1，
整理得x＋y＝4y1－4x1，
又点P(x1，y1)在圆O：x2＋y2＝8上，故有x＋y＝8，
所以4y1－4x1＝8，即y1－x1＝2，
同理设Q(x2，y2)，则有y2－x2＝2，
所以直线PQ的方程为x－y＋2＝0.
课时作业
1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A. B．(1，＋∞)
C．(1，2) D.
C [解析] 由题意可得，2k－1>2－k>0，
即解得10)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A. B．1
C. D．2
D [解析] 易知抛物线的焦点为F(1，0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2(－2舍去)，把P(1，2)代入曲线y＝(k>0)得k＝2.
5．已知离心率e＝的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C [解析] 因为e＝＝，所以＝，＝＝，设|AF|＝m，|OA|＝2m，由面积关系得·m·2m＝4，所以m＝2，由勾股定理，得c＝＝2，又＝，所以a＝4，故选C.
6．(2016·高考全国卷丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
A [解析] 由题意，不妨设点P在x轴上方，直线l的方程为y＝k(x＋a)(k＞0)，分别令x＝－c与x＝0，得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，设OE的中点为G，由△OBG∽△FBM，得＝，即＝，整理得＝，所以椭圆C的离心率e＝，故选A.
7．(2016·石家庄第一次模考)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点F1关于直线y＝－x的对称点P仍在椭圆上，则△PF1F2的周长为________．
[解析] 椭圆左焦点F1(－c，0)关于直线y＝－x的对称点P(0，c)仍在椭圆上，则c＝b＝1，a＝，则△PF1F2的周长为2a＋2c＝2＋2.
[答案] 2＋2
8．(2016·武汉模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________．
[解析] 因为e＝＝，所以c＝a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即ax－by＝0，焦点为(0，c)，所以＝b＝3，所以a＝＝，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8.
[答案] 8
9．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为________．
[解析] 依题意，设M(x，y)，|OF|＝，所以|MF|＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.
[答案] y2＝8x
10．(2016·山西重点中学协作体模拟)若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C的内接正方形的面积为________．
[解析] 由已知得，a＝1，b＝c＝，所以椭圆C的方程为x2＋＝1，设A(x0，y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x0＝y0，所以1＝x＋2y＝3x，解得x＝，所以椭圆C的内接正方形的面积S＝(2x0)2＝4x＝.
[答案]
11．(2016·东北四市教研联合体模拟)椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的长轴长等于圆C2：x2＋y2＝4的直径，且C1的离心率等于.直线l1和l2是过点M(1，0)，且互相垂直的两条直线，l1交C1于A，B两点，l2交C2于C，D两点．
(1)求C1的标准方程；
(2)当四边形ACBD的面积为时，求直线l1的斜率k(k>0)．
[解] (1)由题意得2a＝4，即a＝2.
因为＝，所以c＝1，
所以b＝，
所以椭圆C1的标准方程为＋＝1.
(2)直线AB：y＝k(x－1)，则直线CD：y＝－(x－1)，
由，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则，
所以|AB|＝|x1－x2|＝.
因为圆心(0，0)到直线CD：x＋ky－1＝0的距离d＝，
又＋d2＝4，所以|CD|＝2，
因为AB⊥CD，所以S四边形ACBD＝|AB|·|CD|＝，
由＝，
解得k＝1或k＝－1，
由k>0，得k＝1.
12．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点， |AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
[解] (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.
而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
13．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
[解] 由题知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A ，B ，P ，Q ，R .
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝＝－b＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则
S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|，
S△PQF＝.
由题设可得2×|b－a||x1－|＝，
所以x1＝0(舍去)，x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．
而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合．
所以所求轨迹方程为y2＝x－1.
14．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2＝－4y的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．
[解] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得b＝，＝，
解得a＝2，c＝1.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，
故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0)．
由
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①
因为直线l与椭圆C相切，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.
整理，得2k＋1＝0，解得k＝－.
所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.