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- 2024-05-23 发布
湖北省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练
坐标系与参数方程
1、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三2月月考）在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,其中为参数,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
（2）若是曲线上的动点,为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.
2、（鄂州市2019届高三上学期期中考试）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为，设直线与曲线相交于两点．
（Ⅰ）写出直线和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）求的值．
3、（华中师范大学第一附属中学2019届高三5月押题考）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数)，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)设点P(-1，0)，直线和曲线C交于A ,B两点，求的值.
4、（黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考）已知曲线C的极坐标方程为，
直线：，
直线：，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；
(2)已知直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面
积．
5、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次（3月）联考）在平面直角坐标系中，已知直线(t为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1） 求曲线的直角坐标方程；
（2） 设点M的极坐标为，直线与曲线的交点，求的值。
6、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第一次（12月）联考）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）直线与轴的交点，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角.
7、（荆门市2019届高三元月调研）在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的参数方程为（为参数），再以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位．
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）设圆与直线交于A、B，求的值．
8、（荆州市2019届高三上学期质量检查（一））直角坐标系中，曲线的参数方程为
（为参数），过点作倾斜角互补的两条相交直线，，分别交曲线于，和，，设的倾斜角为
（1）写出的参数方程，并求曲线的普通方程；
（2）求证：
9、（七市（州）教研协作体2019届高三3月联考）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 r = 2sinq + 4cosq (0 £q < 2p ) ，点 (1，)，
以 极 点 O 为 原 点 ，以 极 轴 为 x 轴 的 正 半 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，已 知 直 线l：(t 为参数)与曲线C 交于 A，B 两点.
（ 1） 若 P 为曲线C 上任意一点，当| OP | 最大时，求点 P 的直角坐标；
（ 2） 求 的值.
10、（武汉市2019届高中毕业生二月调研）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线，曲线
．
（1）求的直角坐标方程；
（2）已知曲线与轴交于两点，为上任一点，求的最小值．
11、（武汉市2019届高中毕业生四月调研）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.
(1)求曲线，的直角坐标方程；
(2)曲线和的焦点为，，求以为直径的圆与轴的交点坐标.
12、（武汉市2019届高中毕业生五月训练题）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ+6cosθ．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）已知P（1，3），C1与C2的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．
13、（武汉市武昌区2019届高三元月调研）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与相交于两点，求的面积．
14、（荆门市第一中学2019届高三8月月考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为
（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；
（2）曲线与曲线交于点、，与曲线交于点、，求
15、（天门、仙桃、潜江2018届高三上学期期末联考） 已知动点P、Q都在曲线上，对应参数分别为与（），M为PQ的中点．
(Ⅰ) 求M的轨迹的参数方程；
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
16、（钟祥一中2018届高三五月适应性考试（一））在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ=12，点F的极坐标为(2，π)，且F在直线l上．
（1）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的值；
（2）求曲线C内接矩形周长的最大值．
参考答案：
1、解：（1）∵直线的极坐标方程为，即.
由，，可得直线的直角坐标方程为.
将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.……………5分
（2）设，.
点的极坐标化为直角坐标为.
则.
∴点到直线的距离.
当，即时，等号成立.
∴点到直线的距离的最大值为.……………10分
2、（1），曲线，即………………4分
（2）点的直角坐标为，发现在直线上且，直线的极坐标方程为
联立的参数方程与的直角方程得：，则……………7分
联立及曲线的极坐标方程得：，则，
故所求为1……10分
3、
4、解：（1） 依题意，直线，的直角坐标方程分别为， ．…2分
由得，
因为，所以，…………4分
所以曲线的参数方程为（为参数）．………………………………5分
（2）联立得，………………………6分
同理，．……………………………………………7分
又， …………………………………………8分
所以，………………9分
即的面积为． ……………………………10分
5、
6、解：（1）曲线C的普通方程为
直线的直角坐标方程为………………4分
（2）点的坐标为设直线的参数方程为 （为参数，为倾斜角）联立直线与曲线的方程得：………………6分
设对应的参数分别为，则
………8分
且满足 故直线的倾斜角是或……………10分
7、解：（Ⅰ）消去参数可得圆的直角坐标方程式为………………2分
由极坐标与直角坐标互化公式得
化简得. …………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）直线的参数方程（为参数）， ………………………………6分
即（为参数）代入圆方程得：， ……………………8分
设、对应的参数分别为、，则，，
于是．…………………………………………………10分
8、解：（1）：（为参数），
（2）将的参数方程与的普通方程联立，消去，得关于的方程，设其两根为，
由直线参数方程参数的几何意义知，
同理
所以
9、
10、解析：（1）由，得，
即的直角坐标方程为；
由，得，
即的直角坐标方程为．…………………………………5分
（2）与轴交于点，
而关于直线的对称点为，
．
………………………………10分
11、
12、解：（1）由ρ＝8sinθ+6cosθ，得ρ2＝8ρsinθ+6ρcosθ，
∴x2+y2﹣6x﹣8y＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25；
（2）把代入（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，
得．
∴t1t2＝﹣20．
则|PA|•|PB|＝|t1t2|＝20．
13、解析：（1）的普通方程为，由，得，
又因为，所以的直角坐标方程为．……………………4分
（2）原点到直线的距离，的标准方程为，表示圆心为
，半径的圆．到直线的距离，所以．
所以．………………………………………………………10分
14、【解析】（1）曲线的普通方程为，即.
由，得，∴曲线的极坐标方程为.
（2）设点A的极坐标为，点B的极坐标为，则，，∴.
15、解：(Ⅰ) 依题意有…………………………2分
因此 ……………………………………3分
M的轨迹的参数方程为（为参数，）……5分
(Ⅱ) M点到坐标原点的距离…………7分
当时，，故M的轨迹过坐标原点………………………………10分
16、解：(Ⅰ)∵点F的极坐标为(2，π)，∴直角坐标为(－2，0)，
由题意得Þm=－2，
∵曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ=12，
∴直角坐标方程为x2＋3y2=12. …………………………3分
将直线l的标准参数方程 (t¢为参数)代入曲线C的直角坐标方程中，
得t¢2－2t¢－2=0，∴t¢A•t¢B=－2
∴ |FA|·|FB|=2. ……………………………5分
(Ⅱ)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cosθ，2sinθ)，由对称性可得
椭圆C的内接矩形的周长为8cosθ＋8sinθ=16sin，………………8分
∴当θ＋ = ，即θ = 时，椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16.………10分