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- 2021-02-26 发布
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接写在答题卡相应位置上．
1．全集，集合，则__________．
2．设复数（，，是虚数单位），若，则的值为__________．
3．函数定义域为__________．
4．棱长均为的正四棱锥的体积为__________．
5．已知实数，满足不等式组则的最大值为__________．
6．若“，”是假命题，则实数的取值范围是__________．
7．将函数的图象至少向右平移__________个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．
8．已知等差数列的首项为．若为等比数列，则__________．
9．在平面直角坐标系，设双曲线（，）的焦距为（）．当，任意变化时，的最大值是__________．
10．已知，，则的值为__________．
11．已知函数定义域为，其中，值域，则满足条件的数组为__________．
12．在平面直角坐标系中，已知圆：，直线与圆相交于，两点，且，则的取值范围为__________．
13．已知函数，平行四边形四个顶点都在函数图像上，且
，，则平行四边形的面积为__________．
14．已知数列各项为正整数，满足．若，则所有可能取值的集合为__________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在四面体中，，，点，分别为棱，上的点，点为棱的中点，且平面平面．求证：
（1）；
（2）平面平面．
17．（本小题满分14分）
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为．若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，．
（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；
（2）求当取何值时，凹槽的强度最大．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点，分别为椭圆的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，交于点，其中点在第一象限，设直线的斜率为．
（1）当时，证明直线平分线段；
（2）已知点，则：
①若，求；
②求四边形面积的最大值．
19．（本小题满分16分）
已知数列满足，，且对任意，都有．
（1）求，；
（2）设（）．
①求数列的通项公式；
②设数列的前项和，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知（）．
（1）当时，求的单调区间；
（2）函数有两个零点，，且
①求的取值范围；
②实数满足，求的最大值．
2017届高三“四校联考”试卷
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（本小题满分10分）
如图，已知凸四边形的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心在上，且与四边形的其余三边相切．点在边上，且．
求证：，，，四点共圆．
B．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点，求．
C．（本小题满分10分）
已知极坐标系中的曲线与曲线交于，两点，求线段的长．
D．（本小题满分10分）
已知，，求证：．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中中，已知定点，，分别是轴、轴上的点，点
在直线上，满足：，．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设为点轨迹的一个焦点，、为轨迹在第一象限内的任意两点，直线，的斜率分别为，，且满足，求证：直线过定点．
23．（本小题满分10分）
已知函数，设为的导数，．
（1）求，，；
（2）求的表达式，并证明你的结论．
2017届高三“四校联考”
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题
15.（本题满分14分）
【解】（1）由余弦定理，，……………………………………………………3分
将，代入，解得：．………………………………………………………………6分
（2）由正弦定理，，
由正弦定理可得，，
将，代入解得．………………………………………………………………14分
16.（本题满分14分）
证明：（1）因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，………………………………………………………………………………………4分
又为的中点，
故为的中点，
同理可得，为的中点，
所以．……………………………………………………………………………………7分
（2）因为，
由（1）知，为的中点，
所以，
又，即，
由（1）知，，所以，
又，，平面，
所以平面，………………………………………………………………………………12分
又平面，
故平面平面．…………………………………………………………………………14分
17.（本小题满分14分）
【解】（Ⅰ）易知半圆的半径为，故半圆的弧长为．
所以，
得……………………………………………………………………………………2分
依题意知：
得
所以，（）．………………………………………………………6分
（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为，横截面的面积为，则有
，，………………………………………………9分
因为，
所以，当时，，当时，，
所以当，凹槽的强度最大．……………………………………………………………13分
答：所以当，凹槽的强度最大．………………………………………………………14分
18.（本小题满分16分）
【解】（1）点 椭圆的方程为
设，，则，
的直线方程为：
（2）①设点到直线的距离为，，
则
…………………………………………………………………………………………6分
，即
由，解得；由，解得………………………8分
，即 或．………………………10分
②点到直线的距离
点到直线的距离
…………………………………12分
…………………………………………………………14分
当且仅当时取等号
所以四边形面积的最大值为．…………………………………………………………16分
19.（本小题满分16分）
【解】（1）由题意，令，，则，解得．…………2分
令，，则，解得．…………………………………4分
（2）①以代替，得．…………………………………………5分
则，即．
所以数列是以为公差的等差数列．
，．…………………………………………………8分
②因为．
所以．…………11分
则，，．
因为，，成等比数列，，即．
所以，．．
解得．……………………………………………………………………14分
又，且，，则．
所以存在正整数，，使得，，成等比数列．……………………………16分
20.（本小题满分16分）
【解】（1）当时，
的单调增区间为，单调减区间为．……………………………………2分
（2）①（）
当时，，在上至多只有一个零点，与条件矛盾（舍）
当时，令，得
列表
极小值
有两个不同的零点 即……………………………………6分
当时，，，在上单调递减且图像是不间断的
此时，在上有且只有一个零点
， 令，则设，
，在上单调递增
， 又在上单调递增且图像是不间断的
在上有且只有一个零点
综上，……………………………………………………………………………………9分
②有条件知
将两式分别相加，相减得，
设
由题意得对于任意成立
整理即得在成立
令，
当时，………………………………………………12分
在上单调递增，则，满足条件
当时，
令，
（舍）
当时，，在上单调递减
与条件矛盾
综上，……………………………………………………………………………………16分
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】
A．（几何证明选讲）
证明：因为，
所以，
因为四边形的顶点在一个圆周上，
所以，
从而，
所以，，，四点共圆．
B．（矩阵与变换）
【解】依题意，，即解得…………………4分
由逆矩阵公式知，矩阵的逆矩阵，…………………………8分
所以．…………………………………………………10分
C．选修4—4：极坐标与参数方程
【解】曲线化为；………………………………………………………4分
同样可化为，……………………………………………………8分
联立方程组，解得，，
所以．
所以（），解得（负值已舍）．…………………………………………10分
D．（不等式选讲）
证明：因为，，且，（当且仅当时“”成立）
所以， ①…………………………………………4分
又，（当且仅当时“”成立）②………………………………………8分
由①②得（当且仅当时“”成立）．………………………………10分
【必做题】
22.【解】（1）设点坐标，点坐标，点坐标．
由，，
得消去，得
所以点轨迹方程为．………………………………………………………………3分
（2）设，两点的坐标分别为，，
则， 相减：
所以…………………………………………………………………5分
，，由得
所以，得
直线：，即………………………7分
令，得
所以直线过定点．………………………………………………………………10分
23.（本小题满分10分）
【解】（1）
，其中，
……………………………………………………………3分
（2）猜想，
①当时，成立
②假设时，猜想成立
即…………………………………………………5分
当时，
当时，猜想成立
由①②对成立………………………………10分