2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．双曲线的实轴长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题求出a=3,即得实轴的长.‎ ‎【详解】‎ 由题得a=3,‎ 所以实轴长为6.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的方程和实轴的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2．与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设M(x,y)是所求直线上的任意一点，则其关于y轴的对称点为在直线上，把的坐标代入直线l的方程即得解.‎ ‎【详解】‎ 设M(x,y)是所求直线上的任意一点，则其关于y轴的对称点为在直线上，‎ 所以即.‎ 与直线关于轴对称的直线的方程为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查关于直线对称的直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎3．若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解不等式即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得圆心到直线的距离为，‎ 所以，‎ 因为m＞0，‎ 所以0＜m＜2.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用三视图的还原图求出几何体的体积．‎ ‎【详解】‎ 根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱,如图所示：‎ 故该几何体的体积为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5．一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（ ）‎ A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形 B．各个面都是正三角形 C．三个侧面是全等的等腰三角形 D．顶点在底面上的射影为重心 ‎【答案】A ‎【解析】利用正三棱锥和充要条件的定义逐一分析判断每一个选项得解.‎ ‎【详解】‎ A．根据正三棱锥的定义可知，满足侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥．正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以该选项符合题意；‎ B. 各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件；如果三棱锥是正三棱锥，则各个面不一定都是正三角形，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件，故该选项错误.‎ C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示，VA=VC=BC=AB，AC=VB时，不一定是正三棱锥，故该选项错误；‎ D. 顶点在底面上的射影为重心，设底面为直角三角形,其重心为,过点作平面ABC的垂线，连接VA,VB,VC得到三棱锥V-ABC,显然三棱锥V-ABC不是正三棱锥，所以该选项错误.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查正三棱锥的定义，考查充要条件的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6．如图，已知三棱锥，点是的中点，且，，过点作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，设AB、BC、VC的中点分别为D,E,F，连接PD,DE,EF,PF.先证明截面DEFP就是所作的平面，再求截面的周长.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，设AB、BC、VC的中点分别为D,E,F，连接PD,DE,EF,PF.‎ 由题得PD||VB,DE||AC,‎ 因为平面DEFP,VB,AC不在平面DEFP内，‎ 所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP,‎ 所以截面DEFP就是所作的平面.‎ 由于,‎ 所以四边形DEFP是平行四边形，‎ 因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1,‎ 所以截面DEFP的周长为2+2+1+1=6.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查截面的作法和线面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7．已知直线和相交于点，则点的轨迹方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】联立两直线方程消去k得到，再求x的范围即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得所以.‎ 由题得，所以.‎ 所以点的轨迹方程为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查动点的轨迹方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8．已知双曲线，若过点作直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点，则点的坐标可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，求出，再检验每一个选项得解.‎ ‎【详解】‎ 设，由题得 ‎，‎ 所以.‎ 当P的坐标为时，直线AB的方程为.‎ 把代入双曲线方程得.‎ 对于选项A,C,D中点P的坐标经检验得，不满足.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查弦的中点问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则此椭圆的离心率的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设P,由题得根据得即得解.‎ ‎【详解】‎ 设P 由题得 因为 所以,‎ 所以此椭圆的离心率的最小值为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义和离心率的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 所以，‎ 所以点M的轨迹是一个圆D,‎ 由题得圆C和圆D相交或相切，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二、填空题 ‎11．已知直线（为常数），若直线的斜率为，则__________，若，直线的倾斜角为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】（1）解方程即得m的值；（2）求出直线的斜率，即得直线的倾斜角.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得；‎ ‎（2）若，则直线的斜率所以直线的倾斜角为.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的斜率和倾斜角，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，那么，在空间直角坐标系中，关于轴的对称点坐标为__________，若点关于平面的对称点为点，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】（1）根据空间对称点的位置关系特点写出点坐标；（2）先求出点坐标，再求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得关于轴的对称轴点坐标为；‎ ‎（2）点关于平面的对称点为点（1,-1，-2），‎ 所以.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间对称点的求法，考查空间两点间的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎13．已知圆和圆外切，则的值为__________，若点在圆上，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】（1）解方程即得解；（2）先求出，代入化简解答最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于两圆外切，所以.‎ ‎（2）点在圆上，所以，‎ 所以，因为，所以的最大值为5.‎ 此时.‎ 故答案为： (1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两圆的位置关系，考查点和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14．已知直线与抛物线交于两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若，则的值为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，再求出抛物线的准线方程；（2）联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，由得，代入韦达定理化简即得p的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于直线过抛物线的焦点，令y=0得x=1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0),‎ 所以抛物线的准线方程为x=-1.‎ ‎（2）联立得，‎ 设，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎15．某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理研究椭圆绕轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为高为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面的任意一个平面去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由祖暅原理得椭球体的体积为，计算即得解.‎ ‎【详解】‎ 由祖暅原理得椭球体的体积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查组合体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16．如图，等腰梯形中，，，，为上一点，且，为的中点.沿将梯形折成大小为的二面角，若内（含边界）存在一点，使得平面，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先证明就是二面角的平面角.当时，不存在这样的点Q;‎ 当时，点Q恰好是AE的中点.此时.当时，以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，分析得到，解不等式即得解.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，由于梯形是等腰梯形，所以.‎ 折叠之后，.所以就是二面角的平面角.‎ 当时，不存在这样的点Q;‎ 当时，点Q恰好是AE的中点.此时.‎ 当时，以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则E(0,0,0),B，.设Q在平面ABE内，.‎ 所以,.,‎ 由题得.所以点Q在△ABE的中位线GH上，所以点Q的纵坐标.‎ 由题得 所以.‎ 所以，所以.‎ 所以此时.‎ 综上所述，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间二面角的范围的计算，考查空间位置关系的转化，考查立体几何的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎17．设抛物线，点是抛物线的焦点，点在轴正半轴上（异于点），动点在抛物线上，若是锐角，则的范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，由是锐角得到对任意恒成立.令，则对任意恒成立,再通过分类讨论求出m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设，可知，且，‎ 所以，，‎ 因为是锐角，所以，‎ 即，‎ 整理得，‎ 等价于对任意恒成立；‎ 令，则对任意恒成立；‎ 因为的对称轴为，故分类讨论如下：‎ ‎（1），即时，‎ ‎，‎ 所以；‎ ‎（2），即时，‎ 应有，‎ 得；‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线中的范围问题，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 三、解答题 ‎18．已知圆心在直线：上的圆经过点和，且过点的直线与圆相交于不同的两点.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】（1）先求出圆心的坐标为，再求半径，即得圆C的标准方程；（2）先求出圆心到直线的距离为，再对直线的斜率分两种情况讨论求出直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）易求得的中点为，且，‎ 的中垂线方程为 由，‎ 得圆心的坐标为，‎ 半径，‎ 故圆的标准方程为：‎ ‎（2）当时，则圆心到直线的距离为，‎ 若直线的斜率存在，设直线，‎ 即 圆心到直线的距离，‎ 解得，‎ 直线的方程为 若直线的斜率不存在，则直线，符合题意，‎ 综上所述：所求直线的方程为：或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19．如图，，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若几何体是三棱柱，是边长为的正三角形，与面所成角的余弦值为，，求三棱柱的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）先证明AB||EF,再证明；（2）求出三棱柱的底面积和高，即得三棱柱的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 又，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎（2）由题得，‎ 又棱柱高 ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间位置关系的证明，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20．已知点的坐标分别是，，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）(或)；（2）‎ ‎【解析】（1）设，则，化简即得轨迹方程；（2）先求出弦长|PQ|,再求出到直线的距离，即得的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，则，，‎ 所以，‎ 所以轨迹方程为(或)；‎ ‎（2）设，联立方程 ‎，得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 到直线的距离为，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21．如图，在三棱锥中，且，，面面，，为中点，为中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在直线上确定一点，使得面，求与面所成角.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）证明平面，即得证；（2）在延长线上取点，使,先证明即为与面所成线面角，再求出与面所成线面角为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）易知，又平面平面 面 又，，，平面,‎ 平面 ‎（2）在延长线上取点，使,则四边形为平行四边形 又，面，面 面 又面 即为与面所成线面角 又 ‎，‎ 即与面所成线面角为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎22．设椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于点；若垂直于轴，则.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）椭圆的左右顶点分别为，直线与直线交于点.求证：点在定直线上.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）解方程即得椭圆的标准方程；（2）设，，‎ 联立直线和椭圆方程得到，再求出直线与直线的方程和它们的交点P的横坐标，再把韦达定理代入P的横坐标化简即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得，‎ 所以，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）设，，‎ ‎，‎ 联立，‎ 得，‎ 所以，‎ 可得，‎ ‎，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以；‎ 所以点在直线上．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和椭圆中的定直线问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎