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- 2024-05-21 发布
专题14 坐标系与参数方程
1．(2018北京)在极坐标系中，直线与圆相切，则=___．
【解析】利用，，可得直线的方程为，圆的方程为，所以圆心，半径，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，∴或又，∴．
2．在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为），则的最小值为___________．
1【解析】圆的普通方程为，即．
设圆心为，所以．
3．在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为_____．
2【解析】直线的普通方程为，圆的普通方程为，
因为圆心到直线的距离 ，所以有两个交点．
4．在极坐标系中，直线与圆交于两点，则____．
2【解析】将化为直角坐标方程为，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为，圆心坐标为(1,0)，半径r=1，又(1，0)在直线上，所以|AB|=2r=2．
5．已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 ．
【解析】由得，所以，
故直线的直角坐标方程为，而点对应的直角坐标为
，所以点到直线：的距离为．
6．在极坐标系中，圆上的点到直线距离的最大值是
6【解析】圆即，化为直角坐标方程为，
直线，则，化为直角坐标方程为，圆心到直线
的距离为，所以圆上的点到直线距离的最大值为6．
7．(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的直角坐标方程；
(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程．
【解析】(1)由，得的直角坐标方程为．
(2)由(1)知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
8．(2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【解析】(1)曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
9．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．
(1)求的取值范围；
(2)求中点的轨迹的参数方程．
【解析】(1)的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
(2)的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为，，，则，
且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数，．
10．(2018江苏)C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长．
C．【解析】因为曲线的极坐标方程为，
所以曲线的圆心为，直径为4的圆．
因为直线的极坐标方程为，
则直线过，倾斜角为，
所以A为直线与圆的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，
所以．
因此，直线被曲线截得的弦长为．
11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为
(为参数)．
(1)若，求与的交点坐标；
(2)若上的点到距离的最大值为，求．
【解析】（1）曲线的普通方程为．
当时，直线的普通方程为．
由解得或．
从而与的交点坐标为，．
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
．
当时，的最大值为．由题设得，所以；
当时，的最大值为．由题设得，所以．
综上，或．
12．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为．
(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
【解析】（1）设的极坐标为，的极坐标为．
由椭圆知，．
由得的极坐标方程．
因此的直角坐标方程为．
（2）设点的极坐标为．由题设知，，于是面积
．
当时，取得最大值．所以面积的最大值为．
13．在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：
，为与的交点，求的极径．
【解析】（1）消去参数得的普通方程；
消去参数得的普通方程．
设，由题设得，消去得．
所以的普通方程为
（2）的极坐标方程为
联立得．
故，从而
代入得，所以交点的极径为．
14．在平面坐标系中中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．
解析】直线的普通方程为.
因为点在曲线上，设，
从而点到直线的的距离，
当时，.
因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.
15．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．
（I）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（II）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在 上，求a．
【解析】(1)（均为参数）
∴ ①
∴为以为圆心，为半径的圆．方程为
∵
∴ 即为的极坐标方程
(2)
两边同乘得
即 ②
：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为
①—②得：，即为
∴，∴
16．在直角坐标系中，圆C的方程为．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．
【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得，
由可知圆的极坐标方程为．
(Ⅱ)记直线的斜率为，则直线的方程为，
由垂径定理及点到直线距离公式知：，
即，整理得，则．
17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．
【解析】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，
所以 的最小值，即为到的距离的最小值，
．
当且仅当时，取得最小值，最小值为，
此时的直角坐标为．
18．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长．
【解析】椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，
代入，得，即，
解得，.
所以.
19．在平面直角坐标系中，曲线，直线的参数方程为（t为参数），其中，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；
（2）设，的极坐标方程，A，B分别为直线与曲线异于原点的公共点，当时，求直线的斜率；
【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线l的普通方程为（2）
【解析】（1）将代入曲线的普通方程得极坐标方程为，
直线l的普通方程为；
（2）由已知可得，则，
因为点M在曲线上且，所以
在直角三角形中，则
所以，得直线l的斜率
20．在平面直角坐标系中，曲线（为参数），将曲线上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线，过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点．
（1）求曲线的参数方程和的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
【答案】（1）参数方程为（为参数），的取值范围是；
（2）（为参数，）．
【解析（1）曲线的参数方程为（为参数）
当时，与交于两点；
当时，记，则的方程为，与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是；
（2）的参数方程为（为参数，）．
设、、对应的参数分别为、、，曲线的普通方程为，
将直线的参数方程与曲线的普通方程联立得，
则，且、满足．
于是，，
又点的坐标满足，
所以点的轨迹的参数方程是（为参数，）．
21.在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的参数方程;
(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.
【答案】（1），（2）
【解析】
(1)曲线经过伸缩变换,可得曲线的方程为,
∴其参数方程为为参数);
曲线的极坐标方程为,即,
∴曲线的直角坐标方程为,即,
∴其参数方程为为参数).
(2)设,则到曲线的圆心的距离
,
∵,∴当时,.
∴.