2019-2020学年贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市第一中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版） 18页

2019-2020 学年贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市第一中 学高二上学期期中数学（理）试题 一、单选题 1．下列命题正确的是（　　） A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D．四边形确定一个平面 【答案】C 【解析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】 A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平 面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公 理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共 线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确； 选项 D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选 C. 【点睛】 本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题. 2．在空间直角坐标系中，点 关于平面 的对称点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据对称规律求结果. 【详解】 因为点 关于平面 的对称点是 ， 所以点 关于平面 的对称点是 故选:B 【点睛】 本题考查空间直角坐标系对称关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．空间中异面直线 a 与 b 所成角的取值范围是（ ） (2,1,3) xOz ( 2, 1, 3)− − − (2, 1,3)− ( 2, 1,3)− − (2,1, 3)− ( , , )x y z xOz ( , , )x y z− (2,1,3) xOz (2, 1,3)− A．[0，π] B．（0，π） C． D． 【答案】C 【解析】根据异面直线所成角定义，直接求出． 【详解】 根据异面直线所成角定义，空间中异面直线 a 与 b 所成角的取值范围是 ， 故选：C． 【点睛】 考查异面直线所成角的范围，基础题． 4．已知直线 的方程为 ，则它的斜率为（ ） A．0 B．1 C．2 D．不存在 【答案】A 【解析】化直线方程形式为斜截式，则可得结果. 【详解】 故选:A 【点睛】 本题考查斜截式方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．若直线 的倾斜角 满足 ，则其斜率 k 的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据斜率与倾斜角关系求解. 【详解】 因为直线 的倾斜角 满足 ， 所以斜率 k 的范围为 故选:C 【点睛】 π0 2     ， ( )π0 2， π0 2     ， l 2y = 2 0 2 0y y x k= ∴ = ⋅ + ∴ = l α 2 5 3 6 π πα≤ ≤ 1 3k< ≤ 3 1k− ≤ ≤ − 33 3k− ≤ ≤ − 3 33 k≤ ≤ l α 2 5 3 6 π πα≤ ≤ 2 5 3[tan ,tan ] [ 3, ]3 6 3 π π = − − 本题考查斜率与倾斜角关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．设直线 ， ，下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【解析】根据直线位置关系确定方程对应系数关系，再判断选择. 【详解】 直线 ， ， 则 , 所以 A,B 错误，当 时 ,所以 C 错误， 故选:D 【点睛】 本题考查直线位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题. 7．空间任意一点 O 和不共线的三点 E，M，N 满足 ，则 （ ） A．四点 O、E、M、N 必共面 B．四点 P、E、M、N 必共面 C．四点 O、P、M、N 必共面 D．五点 O、P、 、M、N 必共面 【答案】B 【解析】先根据条件化为向量基底表示，再根据向量基本定理确定选项. 【详解】 故选:B 【点睛】 本题考查向量基底表示，考查基本分析判断能力，属基础题. 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图， 1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 2l l// 1 2 1 2 A A B B = 1 2 2 1A B A B= 1 2l l// 1 2l l⊥ 1 2 1 2 1A A B B ⋅ = − 1 2 1 2 0A A B B+ = 1 2l l⊥ 1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 11 22 12 2 1: : :Al B CA Bl C= ≠⇔/ / 21 1 22 1 0A Al B Bl +⇔ =⊥ 1 20, 0B A= = 1 2l l⊥ 1 1 1 2 3 6OP OE OM ON= + +    E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 6 2 3 6 2 3 6OP OE OM ON OP OP OP OE OM ON= + + ∴ + + = + +           1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 6 6OP OE OM OP ON OP∴ − = − + −      1 1 1 1 2 3 6 33 2EP PM PN PE PM PN∴ = + ∴ = − −      则该多面体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出三视图对应的原图，根据三棱锥的体积公式计算出体积. 【详解】 画出三视图对应的原图如下图所示三棱锥 .故体积为 ，故 选 C. 【点睛】 本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥的体积计算，考查运算求解能力，属于 基础题. 9．如图，二面角 等于 120°，A、B 是棱 上两点， 、 分别在半平面 、 内， ， ，且 ，则 的长等于（ ） 4 3 8 3 2 3 4 1A BDE− 1 1 21 2 23 2 3 × × × × = lα β− − l BD AC α β AC l⊥ BD l⊥ 2 2AB AC BD= = = CD A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】利用向量的模以及向量数量积求结果. 【详解】 因为二面角 等于 120°， ， ，所以 故选:B 【点睛】 本题考查二面角定义、向量的模以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题. 10．已知两条不同直线 m、n 和两个不同平面 ﹑ ，下列叙述正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 则 C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则 【答案】D 【解析】A 选项可由线面平行的性质作出判断，B 选项可由面面平行的判定定理作出判 断，C 选项可由面面垂直的性质作出判断，D 选项可由线面平行的条件作出判断 【详解】 当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故 A 不正确， B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故 B 不正确， C 选项再加上 m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故 C 不正确， D 选项中，如下图所示 2 3 13 lα β− − AC l⊥ BD l⊥ 2, 3 3CA BD π ππ< >= − =  2 2 2 2 2 2 2CD CA AB BD CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD= + + ∴ = + + + ⋅ + ⋅ + ⋅               2 2 22 1 2 0 0 2 2 2 cos 133 π= + + + + + × × × = α β / /m α / /n α //m n / / / /m n m nα α β β⊂ ⊂， ， ， ， / /α β α β⊥ m α⊂ m β⊥ α β⊥ m β⊥ m α⊄ / /m α 设 ， ，又 ，根据垂直于同一平面的两直线平行，可 得 ，又 ， 选 D 【点睛】 考生需灵活掌握线线平行到线面平行，面面平行到线面平行的基本转化关系，遇到较为 抽象的证明问题时，辅以图像能够更加有效的解决问题 11．设直线 和 ，则 m 和 n 所成角（锐角）的平分线所 在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据倾斜角关系以及二倍角正切公式求解. 【详解】 设 m 倾斜角为 ，则 因为 倾斜角为 ，则 m 和 n 所成角（锐角）的平分线所在的直线倾斜角为 ， m 和 n 所成角（锐角）的平分线所在的直线过 m 和 n 交点 因为 （负值舍去） 因此所求直线方程为 故选:A 【点睛】 本题考查倾斜角、直线方程以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．设 ，动直线 过定点 A，动直线 过 定点 B，若直线 与 相交于点 P（异于点 A，B），则 周长的最大值为（ ） =bα β∩ ,a b a β⊥ ∴ ⊥ m β⊥ m a∥ a α⊂ m α∴ ∥ : 4 3 1 0m x y− − = : 1 0n y − = 2 1 0x y− + = 2 3 1 0x y− + = 3 2 0x y− + = 2 3 2 0x y− + = 2θ 4tan 2 3 θ = : 1 0n y − = 0 θ (1,1) 2 4 2tan 1tan 2 tan3 1 tan 2 θθ θθ= = ∴ =− 11 ( 1) 2 1 02y x x y− = − ∴ − + = m R∈ 1 : 1 0l x my+ − = 2 : 2 3 0l mx y m− − + = 1l 2l PAB∆ A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先确定 A,B 坐标，再根据两直线位置关系确定 形状，最后根据三角函 数性质求最值. 【详解】 因为动直线 过定点 A，动直线 过定点 B， 所以 因为 ，所以 与 垂直，所以 为直角三角形， 设 ，则 周长为 当且仅当 (k∈Z)时取等号 故选:D 【点睛】 本题考查两直线位置关系、直线过定点以及利用三角函数求最值，考查综合分析求解能 力，属中档题. 二、填空题 13．过点 且在两轴上的截距相等的直线方程为__________． 【答案】 或 【解析】 当所求直线过原点时，设所求直线方程 ，把点 代入直线 ， 即 ，解得 ，即所求直线方程 ，即 ； 当所求直线不过原点时，设所求直线方程 ，把点 代入直线 ， 即 ，解得 ，即所求直线方程 ， 综上所求直线的方程为 或 . 点睛：本题考查了直线方程的求解问题，其中解答中根据所求直线在两轴上的截距相 等，分别设出相应的直线方程 和 是解答的关键，着重考查了学生分析 2 2+ 2 2 1+ 2 2+ 2 2 2+ PAB∆ 1 : 1 0l x my+ − = 2 : 2 3 0l mx y m− − + = 1 0 2 3 2A B AB =( , ) , ( , ) , 1 1 0m m× + − =( ) 1l 2l PAB∆ PAB θ∠ = PAB∆ 2 2sin 2cos 2 2 2 sin( ) 2 2 24 πθ θ θ+ + = + + ≤ + 2k ( k Z ) 2k4 2 4 π π πθ π θ π+ = + ∈ ⇒ = + ( )2, 3P − 1 0x y+ + = 3 2 0x y+ = y kx= (2, 3)P − y kx= 3 2k− = 3 2k = − 3 2y x= − 3 2 0x y+ = 1x y a a + = (2, 3)P − 1x y a a + = 2 3 1a a −+ = 1a = − 1 0x y+ + = 3 2 0x y+ = 1 0x y+ + = y kx= 1x y a a + = 问题和解答问题的能力，同时正确理解直线的截距相等是解答本题的难点. 14．设 ， 是两个不共线的空间向量，若 ， ， ，且 A，C，D 三点共线，则实数 k 的值为_________. 【答案】 【解析】根据共线列关系式，解得结果. 【详解】 因为 A，C，D 三点共线， 所以 因为 所以 故答案为: 【点睛】 本题考查根据向量共线求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．长方体 中， ， ，直线 和 的夹角 的余弦值为__________. 【答案】 【解析】建立空间直角坐标系，设出各点坐标，利用向量数量积求 ， 即得 和 夹角余弦值. 【详解】 以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则 1e 2e 1 22AB e e= −   1 23 3BC e e= +   1 2CD e ke= +   2 5 / /AC CD  1 2 1 2 1 22 3 3 5 2AC BC e e e e eAB e= + = − + + = +         25: 2 1: 5k k= ∴ = 2 5 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB AD= = 1 2AA = 1AB 1AC 30 10 1 1cos ,AB AC< >  1AB 1AC 1 1(1,0,0), (1,0,2), (1,1,2), (0,1,0)A A B C 所以 因为 所以直线 和 的夹角的余弦值为 故答案为: 【点睛】 本题考查利用向量求线线角，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．已知二次函数 在区间 上至少有一个零点，则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】先将函数看成关于 的直线方程，再根据点到直线距离公式表示 最 小值函数，最后根据函数单调性求最值. 【详解】 所以 令 1 1(0,1,2), ( 1,1, 2),AB AC= = − −  1 1 1 4 30cos , 105 6 AB AC −< >= = −  1AB 1AC 30 10 30 10 2( ) (2 1) 2f x ax b x a= + + − − [3,5] 2 2a b+ 1 100 ,a b 2 2a b+ 2 2( ) (2 1) 2 0 ( 1) 2 ( 2) 0, [3,5]f x ax b x a x a xb x x= + + − − = ∴ − + + − = ∈ 2 2 22 2 2 2 2 | 2 | 2( ) ( )1( 1) 4 x xx b x a x− − − + ≥ = ++ 2 [1,3]t x t= − ∴ ∈ ∴ 2 2 2 1 51 ( 2) 1 4 x t x t t t − = =+ + + + + 因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 故答案为: 【点睛】 本题考查点到直线距离公式、利用函数单调性求最值以及函数与方程，考查综合分析求 解能力，属难题. 三、解答题 17．已知直线 经过两条直线 和 的交点，直线 . （1）若 ，求 的直线方程； （2）若 ，求 的直线方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）先解方程组得交点坐标，再根据平行设所求方程，代入交点坐标得结果， （2）先解方程组得交点坐标，再根据垂直设所求方程，代入交点坐标得结果. 【详解】 （1）由 ，得 ， ∴ 与 交点为 . 设与直线 平行的直线为 ， 将交点 代入 ，∴ . ∴所求直线方程为 ； （2）设与直线 垂直的直线为 ， 则 ，解得 ， ∴所求直线方程为 . 【点睛】 本题考查直线交点以及根据直线平行于垂直求直线方程，考查基本分析求解能力，属基 础题. 54y t t = + + [1, 5] ( 5,3] 2 2 25 1 14 1 4 5 10 ( )10 100y t a bt = + + ≤ + + = ∴ + ≥ = 1 100 l 1 : 4 0l x y− + = 2 : 2 2 0l x y− + = 3 : 2 3 1 0l x y− + = 3/ /l l l 3l l⊥ l 2 3 6 0x y− + = 3 2 22 0x y+ + = 4 0 2 2 0 x y x y + − =  − + = 6 2 x y = −  = − 1l 2l ( 6, 2)− − 2 3 1 0x y− + = 12 3 0x y c− + = ( 6, 2)− − 12 3 0x y c− + = 1 6c = 2 3 6 0x y− + = 2 3 1 0x y− + = 23 2 0x y c+ + = 218 4 0c− − + = 2 22c = 3 2 22 0x y+ + = 18．图 1 是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形，其中 ， ，将其沿 折起使得 与 重合，连 结 ，如图 2. （1）证明图 2 中的 四点共面，且平面 平面 ； （2）求图 2 中的四边形 的面积. 【答案】(1)见详解；(2)4. 【解析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形 ， 和菱形 内部的夹角， 所以 ， 依然成立，又因 和 粘在一起，所以得证.因为 是平 面 垂线，所以易证.(2) 欲求四边形 的面积，需求出 所对应的高，然 后乘以 即可。 【详解】 (1)证： ， ，又因为 和 粘在一起. ，A，C，G，D 四点共面. 又 . 平面 BCGE， 平面 ABC， 平面 ABC 平面 BCGE，得证. (2)取 的中点 ，连结 .因为 ， 平面 BCGE，所以 平面 BCGE，故 ， 由已知，四边形 BCGE 是菱形，且 得 ，故 平面 DEM。 因此 。 在 中，DE=1， ，故 。 所以四边形 ACGD 的面积为 4. 【点睛】 ,ADEB Rt ABC∆ BFGC 1, 2AB BE BF= = = 60FBC∠ =  ,AB BC BE BF DG , , ,A C G D ABC ⊥ BCGE ACGD ABED Rt ABC BFGC //AD BE / /BF CG E F AB BCGE ACGD CG CG  //AD BE / /BF CG E F ∴ / /AD CG ,AB BE AB BC⊥ ⊥ AB∴ ⊥ AB ⊂ ∴ ⊥ CG M ,EM DM / /AB DE AB ⊥ DE ⊥ DE CG⊥ 60EBC∠ =  EM CG⊥ CG ⊥ DM CG⊥ Rt DEM△ 3EM = 2DM = 很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变 的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形 的面积考查考生的空间 想象能力. 19． 中， ， 边上的高 所在直线的方程为 ， 边上的中线 所在直线的方程为 . （1）求直线 的方程； （2）求直线 的方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）根据垂直关系得直线 的斜率，再根据点斜式得结果， （2）分别解方程组求交点 B 坐标，以及 C 坐标，最后根据两点坐标求直线斜率，根据 点斜式求直线方程. 【详解】 （1）由已知得直线 的斜率为 2 ， ∴ 边所在的直线方程为 ， 即 ； （2）由 ∴ ， 设 ， ∴ , ，由点斜式方程得边 ， 化简得 , ∴ 边所在直线的方程为： . 【点睛】 本题考查直线交点以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 20．如图，在正四棱柱 中， ， ，E，M，N ACGD ABC∆ (0,2)A AB CD 2 4 0x y+ − = AC BE 2 3 0x y+ − = AB BC 2 2 0x y− + = 14 13 36 0x y+ − = AB AB AB 1 2( 0)y x− = − 2 2 0x y− + = 1 2 3 0 4 2 3 0 5 2 xx y x y y  =+ − = ⇒ − − =  = 1 5( , )4 2B ( , )C m n 42 4 0 32 42 3 02 2 3 m n m m n n + − = =  ⇒ +× + − =  =  4 4( , )3 3C 4 5 143 2 4 1 13 3 4 BCk − = = − − 4 14 4: ( )3 13 3BC y x− = − − 14 13 36 0x y+ − = BC 14 13 36 0x y+ − = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 4AA = 2AB AD= = 分别是 ， ， 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】（1）先取 的中点 F，根据三角形中位线性质得线线平行，最后根据线面平 行判定定理得结果， （2）先根据计算得 ，再根据正四棱柱性质得 ，从而确定 为二面角 的平面角，最后解三角形得结果. 【详解】 （1）在正四棱柱 中，E，M，N 分别是 ， ， 的中点， 取 的中点 F，连接 ， ， ∴ ， ， ， ∵ 平面 ， 平面 ， ， ∴ 平面 ； （2）在正四棱柱 中， BC 1BB 1A D / /MN 1C DE 1A MA N− − 6 3 AD 1A M AM⊥ 1A M AD⊥ AMD∠ 1A MA N− − 1 1 1 1ABCD A B C D− BC 1BB 1A D AD NF FE / /MN BF / /BF ED / /MN ED MN ⊄ 1DEC DE ⊂ 1DEC / /MN ED / /MN 1DEC 1 1 1 1ABCD A B C D− 平面 ，所以 ∵M 为 中点， ， ，∴ ， 又 ， ， 连接 ，又 ， ∴ 为二面角 的平面角， 在 中， ， ， 所以 的余弦值为 . 【点睛】 本题考查线面平行判定定理以及求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 21．一般地，对于直线 （A，B 不全为 0）及直线 外一点 ，我们有点 到直线 （A，B 不全为 0）的距离公 式为： . （1）证明上述点 到直线 （A，B 不全为 0）的距离公式； （2）设 P 为抛物线 上的一点，P 到直线 的距离为 d，求 d 的最 小值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . AD ⊥ 1 1ABB A 1A M AD⊥ 1BB 2AB = 1 4AA = 1 2 2AM A M= = 2 2 2 1 1AM A M AA+ = 1A M AM⊥ DM 1A M AD⊥ AMD∠ 1A MA N− − Rt AMD∆ 2 2 2 3MD AM AD= + = 6cos 3 AMAMD MD ∠ = = 1A MA N− − 6 3 : 0l Ax By C+ + = l ( )0 0,P x y ( )0 0,P x y : 0l Ax By C+ + = 0 0 2 2 Ax By Cd A B + += + ( )0 0,P x y : 0l Ax By C+ + = 2y x= : 2 0l x y+ + = 7 2 8 【解析】（1）先过 分别作 x 轴，y 的垂线交直线 于 M，N 点，再利用等面积 法求 P 到直线的距离，即证得结果. （2）先根据点到直线距离公式表示 d，再利用二次函数性质求最值. 【详解】 （1）过 分别作 x 轴，y 的垂线交直线 于 M，N 点， 设 P 到直线的距离为 d，则 ， ， ， ， ∴ ， ， ， 由三角形面积公式可知： ， ∴ ， 可证明，当 或 时仍适用 ； （2）设 ，由点到直线 的距离公式得， ， 所求 d 的最小值为 . 【点睛】 本题考查点到直线距离公式证明与应用以及利用二次函数性质求最值，考查基本分析求 解能力，属中档题. ( )0 0,P x y l ( )0 0,P x y l 0 0 0 0 Ax CAx By C y Bx x x x ++ + = = − ⇒ =  = 0 0( , )Ax CM x B +− 0 0 0 0 By CAx By C x Ay y y y ++ + = = − ⇒ =  = 0 0( , )By CN yA +− 0 00 0| | | | Ax By CAx CPM y B B + ++= + = 0 00 0| | | | Ax By CBy CPN x A A + ++= + = 2 2 2 2 0 0| | | | A BMN PM PN Ax By CAB += + = × + + | | | |d MN PM PN⋅ = ⋅ 2 20 0 2 2 ( 0)Ax By Cd A B A B + += + ≠ + 0A = 0B = 2 0 0( , )P x x : 2 0l x y+ + = 2 02 0 0 1 7 2 2 4 7 2 82 2 xx x d  + + + +  = = ≥ 7 2 8 22．如图，直三棱柱 中， ， ， 为 的中点. （I）若 为 上的一点，且 与直线 垂直，求 的值； （Ⅱ）在（I）的条件下，设异面直线 与 所成的角为 45°，求直线 与平面 成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）取 中点 ,连接 ，证明 ，即可说明 ，由 底面为正方形，可求得 ; （Ⅱ）以 为坐标原点，分别以 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 求得各点的坐标，以及平面 的法向量为 ，根据线面所成角的正弦值的公式即可 求解。 【详解】 （Ⅰ）证明：取 中点 ,连接 ,有 , 因为 ，所以 , 又因为三棱柱 为直三棱柱， 所以 , 又因为 , 所以 ， 又因为 所以 又因为 , 平面 , 平面 , 所以 ，又因为 平面 , 所以 , 因为 ， 所以 , 连接 ,设 ，因为 为正方形， 所以 ,又因为 所以 , 又因为 为 的中点， 所以 为 的中点, 所以 . （Ⅱ） 如图以 为坐标原点，分别以 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ,由（Ⅰ）可知 ， 所以 ， 所以 , 所以 , 所以 ， 设平面 的法向量为 ， 则 即 则 的一组解为 ． 所以 所以直线 与平面 成角的正弦值为 . 【点睛】 本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查 了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题。