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- 2024-05-19 发布
2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金20题
之大题好拿分【提升版】
1．【题文】已知命题（其中）.
（1）若，命题“且”为真，求实数的取值范围；
（2）已知是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）分别求出的等价命题， ，再求出它们的交集；（2）， ，因为是的充分条件，所以，解不等式组可得。
2．【题文】设命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R;命题q:方程表示椭圆
(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)如果命题"p或q”为真命题,求实数a的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R转化为ax2-x+在R上恒成立（ⅰ）；ⅱ） 解不等式求解（2）由（1）知 为真即求p真q真的并集即得解.
试题解析：
（1）命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R转化为ax2-x+在R上恒成立（ⅰ）；ⅱ）；所以.
（2）由（1）知 为真即求p真q真的并集，所以
3．【题文】设命题p：已知点，直线与线段AB相交；命题q：函数的定义域为R。如果命题p、命题q有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围。
【答案】
【解析】试题分析：化简命题可得，化简命题可得，由为真命题， 为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.
4．【题文】已知四棱锥中，四边形是菱形， ，又平面,
点是棱的中点， 在棱上，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
试题解析：（1）证明：∵平面， 平面
∴,
又∵底面是的菱形，且点是棱的中点
∴，
又∵
∴平面,
∵平面， 平面
∴平面平面.
（2）连接交于，连接，则平面平面，
∵平面
∴，
∵底面是菱形，且点是棱的中点
∴,
∴,
∴，
∵梯形的面积，
∴.
5．【题文】如图，在三棱锥中， 平面， ， 为侧棱的中点，它的正视图和俯视图如图所示.
(1)求证： 平面；
(2)求三棱锥的体积；
【答案】（1）见解析; (2) .
【解析】试题分析：（1）由平面，知，由，知平面，从而得到. 由此能够证明平面；（2）由三视图得，由（1）知平面，由此能求出三棱锥的体积.
试题解析：（1）证明：因为平面，所以.
又，所以平面，
又因为平面，所以.
由三视图可得，在中， ， 为的中点，所以.
∵，
所以平面.
(2) 由三视图可得，由（1）知， 平面，
又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，
所以，所求三棱锥的体积.
6．【题文】一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x＋y＋1＝0上,反射后穿过点Q(1,1).
(1)求入射光线的方程;
(2)求这条光线从P到Q的长度.
【答案】(1) 5x－4y＋2＝0. (2)
【解析】试题分析：（1）设点Q′（x′，y′）为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，可得直线QM的方程，与l联立可得点M的坐标，利用中点坐标公式可得Q′的坐标．设入射线与l交于点N，利用P，N，Q′共线，得到入射光线PN的方程；
（2）利用两点间的距离公式求出PQ′即可．
试题解析：
(1)设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点.
∵,∴kQQ′＝1.
∴QQ′所在直线方程为y－1＝1·(x－1),
即x－y＝0.
由
解得l与QQ′的交点M的坐标为.
又∵M为QQ′的中点,
由此得解得
∴Q′(－2,－2).
设入射光线与l交点为N,则P、N、Q′共线.
又P(2,3),Q′(－2,－2),得入射光线的方程为,
即5x－4y＋2＝0.
(2)∵l是QQ′的垂直平分线,从而|NQ|＝|NQ′|,
∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|＝,
即这条光线从P到Q的长度是.
点睛：在求一个点关于直线的对称点时，可以根据以下两个条件列方程
（1）两点的中点在对称直线上；
（2）两点连线的斜率与对称直线垂直.
7．【题文】在平面直角坐标系中，点，直线： 与直线： 的交点为圆的圆心，设圆的半径为1．
（1）过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）过点作斜率为的直线交圆于， 两点，求弦的长．
【答案】(1) 切线为或;(2)
试题解析：
（1）由题设知，联立和，解得点，
则切线的斜率必存在，
设过点的圆的切线方程为，则，
解得， ，故切线为或．
（2）直线： ，则圆心到直线的距离为，
则弦长．
8．【题文】已知点为圆的圆心， 是圆上动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足
（1）当在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹教育不同的两点 是坐标原点，且时，求的取值范围.
【答案】（1）（2）或
试题解析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以
所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，
故点的轨迹方程式
（2）设直线
直线与圆相切
联立
所以或为所求.
9．【题文】如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC
(1)求三棱锥D-ABC的体积
(2)求证:平面DAC⊥平面DEF;
(3)若M为DB中点,N在棱AC上,且CN=CA,求证:MN∥平面DEF
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据等积法，利用求解。（2）由题意得，又所以再线面垂直的判定得，从而。又根据题意得到,从而，根据面面垂直的判定可得平面DAC⊥平面DEF。（3）连
交于点则得又从而有根据线面平行的判定定理可得MN∥平面DEF。
试题解析：
（1）因为
所以是点到平面的距离，
所以
（2）因为是正三角形， 为的中点，
所以
因为
所以
又因为
所以，且,
所以；
因为
所以且
所以,
又因为， ,
所以
因为
所以
（3）连交于点则得
又因为
所以在面
又
所以
点睛：高考中对空间中线面位置关系的考查主要体现在证明垂直、平行上，难度中等，主要考查线面平行（垂直）间的相互转化以及条件的寻求，解题时要结合图形探索解题的思路和方法，注意添加适当的辅助线借以完成题目的求解，同时对解题过程的表达上要规范、完整，解题步骤到书写到位.
10．【题文】如图，三棱柱中，底面为正三角形， 底面，且， 是的中点.
（1）求证： 平面；
（2）求证：平面平面；
（3）在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
试题解析：
（1）如图,连接交于点，连。
由题意知,在三棱柱中,平面,
∴四边形为矩形,
∴点为的中点.
∵ 为的中点,
∴.
∵ 平面,平面.
∴ 平面.
（2）∵底面为正三角形,是的中点,
∴,
∵ 平面,平面,
∴ .
∵ ,
∴ 平面,
∵ 平面,
∴平面平面.
（3）假设在侧棱上存在一点,使三棱锥的体积是.
设。
∵ ,,
∴ ,
即,
解得,
即.
∵ ,
∴ 在侧棱上存在一点,使得三棱锥的体积是,此时.
点睛：
（1）空间中线面位置关系的证明，在细心看图的基础上将线面位置关系判定的有关定理用图形中的符号表达出来，达到解题的目的，解题时注意定理中的细节问题，表达要完整。
（2）解决立体几何中的探索性问题，可先假设满足条件的元素存在，然后在此条件下进行推理，看能否得到矛盾。若在推理中得到了矛盾的结论，这说明假设不成立，从而说明所要的元素不存在；否则所要的元素存在。
11．【题文】设与是函数的两个极值点.
（1）试确定常数和的值；
（2）求函数的单调区间；
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）先对函数进行求导，根据可求出和的值．
（Ⅱ）将和的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数之间的关系可判断函数的单调性．
试题解析：
（1）
由题意可知：
（2）
12．【题文】（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点分别为、， 是双曲线右支上一点，且，求双曲线的标准方程.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为，根据定义可得，求得p即可得到方程；（Ⅱ）由题意得可知，故，又在双曲线上，代入坐标可得，从而得到曲线方程。
（Ⅱ）由双曲线定义及可知，
所以，
又因为是双曲线上的点，
所以，
解得，
所以双曲线的标准方程为.
13．【题文】在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为， 也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.
（1）求的方程；
（2）平面上的点满足，直线，且与交于两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2），或.
【解析】试题分析：（1）由抛物线定义确定M点坐标，代人椭圆方程，再结合焦点坐标，列方程组解得（2）由，直线，得与的斜率相同，再根据，得.设直线方程.并与椭圆方程联立，结合韦达定理代人化简可得m值
试题解析：（1）由知，
设， 在上，因为，所以，
得.
在上，且椭圆的半焦距，于是
消去并整理得，
解得 (不合题意，舍去).
故椭圆的方程为.
因为，所以.
.
所以.
此时，
故所求直线的方程为，或.
14．【题文】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知过原点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.
【答案】(1）（2）(4,0)
【解析】试题分析：（1）直线的方程为: ，与抛物线方程联立，利用弦长公式根据列方程可求得，从而可得该抛物线的方程；（2）直线的方程为： ，联立，得，根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，从而可得结果.
试题解析：（1）拋物线的焦点，∴直线的方程为: .
联立方程组，消元得: ，
∴.
∴
解得.
∴抛物线的方程为： .
（2）由（1）直线的斜率不为0，设直线的方程为： ，
联立，得，
则①.
设，则.
所以或（舍）,
所以直线DE过定点（4,0）.
15．【题文】已知坐标平面上点与两个定点， 的距离之比等于5.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为 8，求直线的方程.
【答案】（1）（2），或．
【解析】 【试题分析】（1）运用两点间距离公式建立方程进行化简；（2）借助直线与圆的位置关系，运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程分析求解：
(1)由题意，得
化简，得．
即．
点的轨迹方程是
轨迹是以为圆心，以为半径的圆
(2)当直线的斜率不存在时， ，
此时所截得的线段的长为，
符合题意．
当直线的斜率存在时，设的方程为
，即，
圆心到的距离，
由题意，得，
解得．
∴直线的方程为．
即.
综上，直线的方程为
，或.
点睛：轨迹方程的探求是高中数学中重要的题型之一，本题中的第一问是典型的到两定点距离之比为定值的点的轨迹的探求。求解时直接运用两点间距离公式建立方程，然后再两边平方进行化简，从而获得答案；第二问也是传统的直线与圆相交的问题题型。求解时先运用点斜式建立直线的方程，然后运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程使得问题获解.
16．【题文】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（1）方程为.焦点坐标为（，0），准线方程为.（2）见解析
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .
由，得.
则， .
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
17．【题文】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设分别为线段的中点，原点在以为直径的圆内，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的定义可得，结合离心率可求出，结合可求出，故而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设,联立直线与椭圆的方程，得到，由题意可得为钝角，将其转化为向量的数量积，即，联立可得结果.
试题解析：（Ⅰ）由得，结合得，得，故椭圆方程为
18．【题文】已知抛物线与直线相交于、两点，点为坐标原点 .
（1）求的值；
（2）若的面积等于，求直线的方程.
【答案】（1）0 （2）或
【解析】
试题分析：（Ⅰ）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（Ⅱ）把△OAB的面积转化为两个三角形OCA，OCB的面积和，然后直接代入三角形面积公式求解
试题解析：（1） 设 ， 由题意可知： ∴
联立 得： 显然： ∴
∴
（2）
∴ 解得：
∴ 直线的方程为：或
19．【题文】已知函数,且．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减（2）
【解析】试题分析：(1)先求出，由求出 的值，再由得增区间，得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处函数值进行比较即可结果.
试题解析：(1) 函数 ),.,解得.则 .,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，函数与的变化如下表：
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由表格可知：当时，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值，，又，可知函数的最大值为，最小值为.
【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值及闭区间上的最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小.
20．【题文】已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）定点为.
【解析】试题分析：（1）由椭圆几何意义得，再根据圆心到切线距离等于半径得，解得， （2）先根据向量数量积化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人化简得，最后根据k的任意性确定点的坐标及定值
假设轴上存在定点，使得为定值，
∴
.
要使为定值，则的值与无关，∴，
解得，此时为定值，定点为.