高中数学选修第2章2_3_1同步训练及解析 4页

人教A高中数学选修2-3同步训练 ‎1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的期望是(　　)‎ A．0.2　　　　　　　　　 B．0.8‎ C．1 D．0‎ 解析：选B.因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.‎ ‎2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为(　　)‎ A．0.6 B．1‎ C．3.5 D．2‎ 解析：选C.抛掷骰子所得点数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 所以，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5.‎ ‎3．设ξ为离散型随机变量，则E(E(ξ)－ξ)＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．不确定 解析：选A.∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.‎ ‎4．随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ P ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ 则E(X)＝________.‎ 解析：由均值的定义有E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.‎ 答案：2.4‎ 一、选择题 ‎1．若X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P a ‎，则E(X)＝(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A.由题意知＋a＝1，E(X)＝0×＋a＝a＝.‎ ‎2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解析：选A.ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎3．已知ξ～B，η～B(n，)，且E(ξ)＝15，则E(η)等于(　　)‎ A．5 B．10‎ C．15 D．20‎ 解析：选B.E(ξ)＝n＝15，∴n＝30，‎ ‎∴η～B，∴E(η)＝30×＝10.‎ ‎4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是(　　)‎ A．0.70 B．6‎ C．4.2 D．0.42‎ 解析：选C.得分X～B(6,0.7)，‎ E(X)＝6×0.7＝4.2.‎ ‎5．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为(　　)‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P m n A. B. C. D. 解析：选A.由Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝，∴E(X)＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝，又m＋n＋＋＝1，联立求解得m＝.‎ ‎6．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的期望是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1,2,3，‎ P(ξ＝1)＝，‎ P(ξ＝2)＝×＝，‎ P(ξ＝3)＝××＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.‎ 二、填空题 ‎7．已知随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ x ‎0.1‎ 则x＝________，P(1≤ξ<3)＝________，E(ξ)＝________.‎ 解析：x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3，‎ P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)‎ ‎＝0.2＋0.3＝0.5，‎ E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.‎ 答案：0.3　0.5　2.1‎ ‎8．设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.‎ 解析：∵E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(‎2a＋b)＋3×(‎3a＋b)＋4×(‎4a＋b)＝3，‎ 即‎30a＋10b＝3，又a＋b＋‎2a＋b＋‎3a＋b＋‎4a＋b＝1，‎ 即‎10a＋4b＝1，‎ 解得：a＝，b＝0，‎ ‎∴a＋b＝.‎ 答案： ‎9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．‎ 解析：∵种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，‎ 则ξ～B(1000,0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，‎ 故需补种的期望为2E(ξ)＝200.‎ 答案：200‎ 三、解答题 ‎10．某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%.问：寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？‎ 解：设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1,2，…，3000)，‎ 所以P(ξ＝k)＝C·0.04k·(1－0.04)3000－k，‎ 可见ξ～B(3000，0.04)，‎ 所以E(ξ)＝3000×0.04＝120(人)>100(人)．‎ 所以不能向每一位顾客都发出领奖邀请，寻呼台至少应准备120份礼品，才能使每一位领奖人都得到礼品．‎ ‎11．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元；命中4发不奖励，也不必付款；命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.‎ ‎(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；‎ ‎(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值. ‎ 解：(1)设5发子弹命中ξ(ξ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P(ξ＝5)＝C0.55＝.‎ ‎(2)ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 设游客在一次游戏中获得奖金为X元，‎ 于是X的分布列为 X ‎－2‎ ‎0‎ ‎40‎ P 故该游客在一次游戏中获得奖金的均值：E(X)＝(－2)×＋0×＋40×＝－0.375(元)．‎ ‎12．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎(1)求乙投球的命中率p；‎ ‎(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ 解：(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.‎ 由题意得[1－P(B)]2＝(1－p)2＝，‎ 解得p＝或p＝(舍去)，‎ 所以乙投球的命中率为.‎ ‎(2)由题设和(1)知 P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝.‎ ξ可能的取值为0,1,2,3，故 P(ξ＝0)＝P()P( )＝×2＝，‎ P(ξ＝1)＝P(A)P( )＋CP(B)P()P()‎ ‎＝×2＋2×××＝，‎ P(ξ＝3)＝P(A)P(BB)＝×2＝，‎ P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. ‎