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- 2024-05-17 发布
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
天水市一中2019届高考一轮复习第六次质量检测
数学试题（理科）
（满分：150分 时间：120分钟）
一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分）
1.已知集合, 集合(为自然对数的底数),
则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则复数z的模为（ ）
A. 2 B. C. 1 D. 0
3.若命题p为：为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
5.为了弘扬我国优秀传统文化,某中学广播站在中国传统节日:春节,元宵节,清明节,端午节,中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵,那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是( )
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
6.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a为( )
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A.4 B.2 C.0 D.14
7.在等差数列中，，则数列的前11项和( )
A. 8 B. 16 C. 22 D. 44
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图象( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x＝对称 D.关于直线x＝－对称
9.在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
10.已知四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，其中ABCD为正方形，△PAD为等腰直角三角形，PA＝PD＝，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为( )
A.10π B.4π C.16π D.8π
11.抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )
A. B.
C. D.
12.已知函数f(x)＝e－x－2x－a，若曲线y＝x3＋x＋1(x∈[－1,1])上存在点(x0，y0)使得f(y0)＝y0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，e－3－9)∪[e＋3，＋∞) B．[e－3－9，e＋3]
C．(e－3－9，e2＋6) D．(－∞，e－3－9)∪(e＋3，＋∞)
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13.的展开式的常数项为__________．
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14.已知实数x，y满足则z＝3x－2y的最小值是______.
15.设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 ．
16.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是_______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必答题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.（12分）已知, , 分别为三个内角, , 的对边, =sincos．
(1)求角;
(2)若=, 的面积为,求的周长．
18.（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
19.（12分）如图所示,在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=BC=PA=1,AD=2,∠PAD=∠DAB=∠ABC=90°,点E在棱PC上,且CE=λCP(0<λ<1).
(1)求证:CD⊥AE.
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(2)是否存在实数λ,使得二面角C-AE-D的余弦值为?若存在,求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.
20.（12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点M在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值.
21.（12分）已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对任意x>0，均有x(2ln a－ln x)≤a恒成立，求正数a的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－1.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)过点M(－1，0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积.
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a∈R).
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
理科答案
选择题：1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D 11.D 12.B
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填空题：13.-15 14.6 15.5 16.
17.(1)由及正弦定理，得
,又,,
.
(2)因为三角形的面积公式所以，
由余弦定理，得：，
三角形的周长为.
18.(1)解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)解：①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．
由①知P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，
故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.
所以事件A发生的概率为.
19.
解:(1)证明:过点C作CF∥AB交AD于点F,
∵AB=BC=1,AD=2,∠DAB=∠ABC=90°,
∴四边形ABCF为正方形,且AF=FD=1,AC=.
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在Rt△CFD中,CD=,在△ACD中,CD2+AC2=4=AD2,∴CD⊥AC.
∵∠PAD=90°,∴PA⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,
∴PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
∵PA,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC,又AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
(2)由题知,PA,AB,AD两两垂直,
以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),∴=(-1,1,0),=(0,2,0).
假设存在实数λ(0<λ<1),使得二面角C-AE-D的余弦值为,
设E(x,y,z),∵=λ,∴(x-1,y-1,z)=λ(-1,-1,1),
∴E(1-λ,1-λ,λ),则=(1-λ,1-λ,λ).
∵CD⊥平面PAC,∴平面AEC的一个法向量为n==(-1,1,0).
设平面AED的法向量为m=(a,b,c),
则即令c=1,则a=,b=0,∴m==(-λ,0,1-λ),
∵≠0,∴可取m=(-λ,0,1-λ),
∴|cos|===,化简得3λ2-8λ+4=0,
∵λ∈(0,1),∴λ=,
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∴存在实数λ=,使得二面角C-AE-D的余弦值为.
20.解 (1) 由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点M在椭圆C上，得
解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)易得直线OM的方程为y＝x.
当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线y＝x上，故直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，与＋＝1联立消y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)
＝48(3＋4k2－m2)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
所以AB的中点N，
因为N在直线y＝x上，所以－＝2×，解得k＝－，
所以Δ＝48(12－m2)>0，得－20，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，无极值；
②当a>0，x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)在(0，a)上为减函数；
x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上为增函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上有极小值，无极大值，
f(x)的极小值为f(a)＝ln a＋1.
(2)若对任意x>0，均有x(2ln a－ln x)≤a恒成立，
即对任意x>0，均有2ln a≤＋ln x恒成立，
由(1)可知f(x)的最小值为ln a＋1，问题转化为2ln a≤ln a＋1，
即ln a≤1，故0