湖北省宜昌市葛洲坝中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含答案 9页

宜昌市葛洲坝中学 2019-2020 学年第一学期 高一年级期末考试试卷数学试题 考试时间：2020 年 1 月 一、单选题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．如果幂函数 ( )f x 的图象经过点 (2, 2) ,则 (4)f 的值等于（ ） A．16 B． 2 C． 1 16 D． 1 2 2．若 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时， 2( )f x x x  ，则 ( 2)f   （ ） A．2 B．6 C．－2 D．－6 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．    2 2( )f x x g x x ， B．f（x）=x，g（x）= 3 3x C．f（x）=1，g（x）=x0 D．     2 11 1 xf x x g x x     ， 4．函数 2 6( ) logf x xx   的零点所在区间是（ ） A． 0,1 B． 1,2 C． 3,4 D． 4, 5．设 1ln 2a  ， lg 3b  ， 2 1 )5 1(  c 则 a ，b，c的大小关系是（ ） A． a b c  B． c a b  C．c b a  D． b c a  6．若 ,2      则   31 2sin sin 2          ( ) A．sin cos  B．cos sin  C．  sin cos   D．sin cos  7． 函数    2 3log 6f x x x   的单调减区间为（ ） A． 1 ,2   B． 1, 2     C． 1 ,22  D． 13, 2     8．如下图在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 BC 的中点，EF 2FD  ，若AF xAB yAD    ，则 3x 6y (  ) A． 7 6 B． 7 6  C． 6 D．6 9．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之， 学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大 小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形 木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦 1AB  尺，弓形高 1CD  寸，则阴影部分 面积约为（注： 3.14  ， 5sin 22.5 13   ，1 尺=10 寸）（ ） A．6.33 平方寸 B．6.35 平方寸 C．6.37 平方寸 D．6.39 平方寸 10．函数 2 2( ) logf x x x  ，则不等式 ( 1) (2) 0f x f   的解集为（ ） A． ( , 1) (3, )   B．   ( , 3) (1, ) C． ( ), 1 1 1)3 ( ,   D．( 1,1) (1,3)  11．已知函数 ( )f x 是定义域为 R 的奇函数，且当 0x  时， 2 2 log ,0 2 1 4 7, 22 ( )f x x x x x x        „ ，若 函数 ( ) (0 1)y f x a a    有六个零点，分别记为 1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x ，则 1 2 3 4 5 6x x x x x x     的取值范围是（ ）. A． 52, 2      B． 2110, 2      C． (2,4) D． 103, 3      12．函数    sinf x A x   ， 0, 0A   ，若  f x 在区间[0, ]2  上是单调函数，    0 ( )2    f f f ，则 的值为（ ） A． 1 2 B．2 C． 1 2 或 2 3 D． 2 3 或 2 二、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13．已知函数 ，则 . 14．已知 tan 3  ,则 2 2 1 2sin cos sin cos       的值是_______________. 15．已知函数 (1 2 ) ( 1) ( ) 4 ( 1) xa x f x a xx       ，且对任意的 1 2,x x R ， 1 2x x 时，都有    1 2 1 2 0f x f x x x   ，则 a 的取值范围是________ 16．给出下列命题，其中正确的命题序号是______________ ①将函数 cos 2 3y x      的图像向左平移 3  个单位长度，得到函数  cos 2y x 的图像； ②若 ABC 为锐角三角形，则 BA cossin  ③ 8x  是函数 5sin 2 4y x      的图像的一条对称轴； ④函数 ||sin|sin| xxy  的周期为 2 三、解答题（本题共 6 题，共 70 分） 17．（本题满分 10 分）计算下列各式 (1) )3cos(4 7tan)6 25cos(3 8sin   (2) 8 1log25lg5lg2lg2lg 2 3log-2 2  18．（本题满分 12 分）记函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 ,集合 ． （Ⅰ）求集合 , B RCA ；（Ⅱ）若 ，求实数 a 的取值范围. 18．（本题满分 12 分）美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公 司研发的 A ， B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准 备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产 A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知 每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产 B 芯片的毛收入 y（千万元）与投入的 资金 x（千万元）的函数关系为 ( 0)ay kx x  ，其图像如图所示. （1）试分别求出生产 A ， B 两种芯片的毛收入 y （千万元）与投入资金 x（千万元）的函数关系式； （2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产 A ，B 两种芯 片，求可以获得的最大利润是多少。 20．（本题满分 12 分）已知函数 ( ) 2sin 3f x x     . （1）若点 (1, 3)P  在角 的终边上,求sin 和 6f     的值；（2）求使   1f x  成立 的 x的取值集合；（3）若对任意实数 ,3 2x       ，不等式   2f x m  恒成立，求实数 m 的取值范围. 21．（本题满分 12 分）如图是函数 ( ) sin( )f x A x   ( 0, 0,0 )2     A 的部分 图像， ,M N 是它与 x轴的两个不同交点，D 是 ,M N 之间的最高点且横坐标为 4  ，点 (0,1)F 是线段 DM 的中点. （1）求函数 ( )f x 的解析式及 )(xf 的单调增区间； （2）若 5[ , ]12 12x    时，函数      2 1h x f x af x   的最小 值为 1 2 ，求实数 a 的值. 22．（本题满分 12 分）已知函数 121 2-1)()(  x x xfxg ，其中 4( ) lg 4 xf x x   ，其中 ( 4,4)x  . （I）判断并证明函数 )(xf 在 ( 4,4) 上的单调性；（II）求 ) 12 1()21(   gg 的值 （III）是否存在这样的负实数 k ，使 2 2( cos ) (cos ) 0f k f k     对一切 R  恒成立， 若存在，试求出 k 取值的集合；若不存在，说明理由. 参考答案 1～5 B C B C A 6～10 A C D A C 11．A 【详解】 由题意，函数 ( )f x 是定义域为 R 的奇函数，且当 0x  时， 2 2 log ,0 2 ( ) 1 4 7, 22 x x f x x x x       „ ， 所以当 0x  时， 2 2 log ( ) , 2 0 ( ) 1 4 7, 22 x x f x x x x          „ ， 因为函数 ( ) (0 1)y f x a a    有六个零点， 所以函数 ( )y f x 与函数 y a 的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图， 不妨设 1 2 3 4 5 6x x x x x x     ， 由图知 1 2,x x 关于直线 4x   对称， 5 6,x x 关于直线 4x  对称， 所以 1 2 5 6 0x x x x    ，而 2 3 2 4log ,logx a x a   ， 所以 2 3 2 4 2 3 4log log log 0x x x x   ，所以 3 4 1x x  ， 所以 3 4 3 42 2x x x x … ，取等号的条件为 3 4x x ， 因为等号取不到，所以 3 4 2x x  ， 又当 1a  时， 3 4 1 , 22x x  ，所以 3 4 1 522 2x x    ， 所以 1 2 3 4 5 6 52, 2x x x x x x          . 故选：A 12．D 因为 2 22T      ，则 0 2  ；又因为    0 ( )2    f f f ，则由 (0) ( )f f   可知 ( )f x 得一条对称轴为 2x   ，又因为  f x 在区间[0, ]2  上是单调函 数，则由 (0) ( ) 02f f   可知 ( )f x 的一个对称中心为 ( , 0)4  ；若 2x   与 ( , 0)4  是同一 周期内相邻的对称轴和对称中心，则 ( )4 4 2 T     ，则 3T  ，所以 2 2 3T    ；若 2x   与 ( , 0)4  不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则 3 ( )4 4 2 T     ，则 T  ，所以 2 2T    . 13． 22 14．2 15．[ 1, 0) 16．②③ 17．(1) 0 (2)2 18．(1) , (2) 试题分析：(1)由 2x-3>0 得 ， （1 分） 由 得 ，（2 分）所以 ,（4 分） （6 分） 评分的时候注意区间的开闭 (2)当 时，应有 ，（8 分） 当 时，应有 ，（10 分） 所以 的取值范围为 （12 分）. 19、（1）设投入资金 x 千万元，则生产 A 芯片的毛收入 )0(4  xxy ； 将 1,1  4,2 代入 ay kx ，得 1, 4 2,a k k     1, 1 ,2 k a   所以，生产 B 芯片的毛收入 ( 0)y x x  . 2）公司投入 4 亿元资金同时生产 A ， B 两种芯片，设投入 x 千万元生产 B 芯片，则投入  40 x 千万元资金生产 A 芯片.公司所获利润   40 24 xf x x     21 2 94 x   故当 2x  ，即 4x  千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元. 20、解：（1） 2 3 3sin 21 ( 3)       , 2 1 1cos 21 ( 3)      , 2sin 2cos 16 2f                    . （2） ,1)( xf 则 2 1)3sin(  x  kxk 26 5 326  ]26 7,22[  kkx  （3） 1m 21．（1） ( ) 2sin( )4f x x   ，其增区间为 5[ ,2 )4   ；（2） 3 2a  （1）由题：函数 ( ) sin( )f x A x   ( 0, 0,0 )2     A 点  0,1F 是线段 DM的中点，所以 ( ,2), ( ,0)4 4D M  ， 周期 24 2T      ，所以 2, 1A   ， ( ) 2sin( ) 24 4f      ， 2 ,4 2 k k Z      2 ,4 k k Z    ， 4   所以 ( ) 2sin( )4f x x   ， 令 2 2 ,2 4 2k x k k Z         ，得： 32 2 ,4 4k x k k Z       所以 ( )f x 的增区间为 3[2 ,2 ],4 4k k k Z     （2）由题： 5[ , ]12 12x    ，则 2 1[ , ],sin( ) [ ,1], ( ) [1, 2]4 6 3 4 2x x f x        ， 令  ( ) 1,2t f x  得到 2( ) ( ) 1h x g t t at    ，  1,2t  ， ( )g t 对称轴为 2 at  ， 当 12 a  时，即 2a  ， min 1 3( ) (1) ,2 2g t g a   ； 当1 22 a  时，即 2 4a  ， 2 min 1( ) ( ) 1 , 22 4 2 a ag t g a       （舍去）； 当 22 a  时，即 4a  ， min 1 9( ) (2) ,2 4g t g a   （舍去） 综上： 3 2a  22、详解： （I）∵  f x 在 4,4 上为减函数. 证明：任取  1 2, 4,4x x   且 1 2x x ， 则     1 2 1 2 1 2 4 4lg lg4 4 x xf x f x x x      1 2 1 2 4 4lg 4 4 x x x x         2 1 1 2 1 2 1 2 16 4lg16 4 x x x x x x x x       ， ∵  2 1 1 216 4 x x x x    2 1 1 216 4 0x x x x     ， ∴     2 1 1 2 1 2 1 2 16 4 116 4 x x x x x x x x       ， 得    1 2 0f x f x  ，得到    1 2f x f x ， ∴  f x 在 4,4 上为减函数； （II）    4 4lg lg4 4 x xf x f xx x         ， ∴  f x 是奇函数同理可证. x x 21 21   为奇函数 所以 ) 12 1()21(   gg 的值为 2 （III）∵    2 2cos cosf k f k      2 2cosf k   ， ∵  f x 在 4,4 上为减函数， ∴ 2 2 2 2 0 4 4 4 cos 4 cos k k cos k k cos k                   对 R  恒成立 由 2 2cos cosk k    对 R  恒成立得： 2 2cos cosk k     对 R  恒成立， 令 2 2 1 1cos cos cos4 2y           ， ∵  cos 1,1   ，∴ 12, 4y      ， ∴ 2 2k k   ，得 1k   ， 由 4 cos 4k     对 R  恒成立得： 3 3k   ，由 2 24 cos 4k    对 R  恒成立得： 2 2k   ， 即综上所得： 2 1k    ， 所以存在这样的 k ，其范围为 2 1k    .