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- 2024-05-15 发布
湖北省宜昌市示范高中协作体2017年秋期中联考
高二（理科）数学
命题人：张春华 审题人：崔成平
（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1. 直线x －y＋1＝0的倾斜角是( )
A． B． C． D．
2．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为( )
A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4)
C．(，－，) D．(6，－5,11)
3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l ⊂α，m⊂β.( )
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
4. 已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或﹣2 D．﹣1或2
5. 已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为( )
A. B．2 C．＋1 D.1
6. 在三棱锥A-BCD中,E、F、G分别是AB、AC、BD的中点,若AD与BC所成的角为,则∠FEG为( )
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
7. 入射光线沿直线x－2y＋3＝0射向直线l：y＝x，被直线l反射后的光线所在直线的方程是( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x＋y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
8. 如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：以下说法正确的是( )
①与平行；
②与是异面直线；
③与成60°角；
④与垂直；
A．①②③
B．③④
C．②④
D．②③④
9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．12＋
B．10＋
C．6＋7
D．12
10．已知直线kx－y－1+3k＝0（k∈R）恒过定点A，点A在直线mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，
则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6
C. 12 D. 16
11. 一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（ ）
A．4π
B．9π
C．12π
D．π
12. 已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13. 两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是 ．
14. 设变量x，y满足则z＝2x－y的最大值________．
15.直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是________．
16.如右图，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB
以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角．动点D在斜边AB上，
则CD与平面AOB所成角的正切值的最大值________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题10分) 已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，[]
(1) 求BC边所在的直线方程;
(2) 求BC边上的高所在直线方程．
18．(本题12分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
19. (本题12分)如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1 ⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，
AA1＝AB＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)设BC＝2，求四棱锥B—DAA1C1的体积．
20.(本题12分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△
AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
21.(本题12分) 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
(1)求证：A1F⊥BE；
(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.
[学&科&]
22. (本题12分) 如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y﹣1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
（1）求圆A的方程；
（2）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．
高二理数答案
一、选择题（每小题5分，共计60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
A
D
C
D
B
B
A
C
A
B
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13. 14.7 15. －10， ………………………………6分
∴k>0. …………………………… 7分
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4， ………10分
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4， ………11分
此时直线l的方程为x－2y+4=0 ………………………12分错误！未找到引用源。
21. (本题12分)
(1)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
又A1D∩CD＝D，A1D平面A1DC，CD平面A1DC，
所以DE⊥平面A1DC. ………………………………3分
因为A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F. ………………………………4分
又因为A1F⊥CD，
所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE. ………………………6分错误！未找到引用源。
(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ. …………………………………7分
理由如下：
如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接DP，QE，PQ，则PQ∥BC. ………8分
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(1)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C. ………9分
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP. …………………………10分
又DP∩DE＝D，DP平面DEP，DE平面DEP，
所以A1C⊥平面DEP. …………………………11分
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ. ………………………12分
22. (本题12分)
解：（1）由圆存在两点关于直线x+y﹣1=0对称知圆心A在直线x+y﹣1=0上，………1分
由得A（﹣1，2）， ………………………3分
设圆A的半径为R，因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，
∴， ………………………5分
∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20. ………………………6分
（2）∵AQ⊥BP，∴•=0， ………………………7分
∴（+）•=2•=2（）•=2（+•）=2•， ………8分
当直线l与x轴垂直时，得，则=（0，），又=（1，2），
∴（+）•=2•=2•=-10， ………9分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），
由，解得，∴=（，）， ………10分
∴（+）•=2•=2•=2（+）=﹣10 ………11分
综上所述，（ +）•是定值，且为﹣10 ………………………12分