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- 2024-05-14 发布
开始
输出 S
结束
i≤10
i←3
N
Y
S←S+2i
（第 6 题图）
i←i＋2
S←4
苏州大学 2020 届高考考前指导卷
数学
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填
在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1．已知集合 { | 1 2}A x x ≤ ≤ ， { | 1}B x x ，则 A B ▲ ．
2．已知纯虚数 z 满足 (1 i) 2 iz a ，则实数 a 等于 ▲ ．
3．某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的 400 辆汽车的
车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根
据直方图的数据估计 400 辆汽车中时速在区间[90 110)， 的约有 ▲ 辆．
4．函数 ( ) 1 2 lgf x x x 的定义域为 ▲ ．
5．在直角坐标系 xOy 中，已知双曲线
2
2 1 ( 0)yx 的离心率为 3 ，则 的值为 ▲ ．
6．执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 ▲ ．
7．展览会会务组安排了分别标有序号为“1 号”、“2 号”、“3 号”的三辆车，采用等可
能随机的顺序前往酒店接嘉宾．某与会嘉宾设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐
第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第
三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．则该嘉宾坐到“3 号”车的概率是 ▲ ．
8．已知函数 ( ) cosf x x x ，则 ( )f x 在点 ( ( ))2 2f ， 处的切线的斜率为 ▲ ．
9．已知 nS 是等比数列{ }na 前 n 项的和，若公比 2q ，则 1 3 5
6
a a a
S
的值是 ▲ ．
10．已知 2 sin cos( )4
，则 tan( )4
的值是 ▲ ．
11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．里面对勾股定理的论述比西方早一千
多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深
一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，
不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木
料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所
示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦 1AB 尺，弓形高 1CD 寸，估
算该木材的体积约为 ▲ （立方寸）．
（注：1 丈 10 尺 100 寸， π 3.14 ）
（第 11 题图）
12．已知函数 2| log 2| 0 1
( )
3 1
x x
f x
x x
， ≤ ，
， ，
若存在互不相等的正实数 1 2 3x x x， ， ，满足 1 2 3x x x 且
1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x ，则 3 1( )x f x 的最大值为 ▲ ．
13．已知点 P 为正方形 ABCD 内部一点（包含边界）， E F， 分别是线段 BC CD， 中点．若 0CP DP ，
且 AP AE AF ，则 的取值范围是 ▲ ．
14．已知 D 是 ABC△ 边 AC 上一点，且 1s 43 2 coC BD A BD D A C ， ， ，则3AB BC 的最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
ABC△ 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ，且 1a ， 3cos sinC c A ．
（1）求 C ；
（2）若 3b ， D 是 AB 上的点， CD 平分 ACB ，求 ACD△ 的面积．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上（异于点 P C， ），平面 ABE 与棱 PD 交于
点 F．
（1）求证： AB EF∥ ；
（2）若 AF⊥EF，求证：平面 PAD⊥平面 ABCD．
（第 16 题图）
17．（本小题满分 14 分）
如图，某公园内有一半圆形人工湖，O 为圆心，半径为 1 千米．为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实
事，拟规划在 OCD△ 区域种荷花，在 OBD△ 区域建小型水上项目．已知 AOC COD ．
（1）求四边形 OCDB 的面积（用 表示）；
（2）当四边形 OCDB 的面积最大时，求 BD 的长（最终结果可保留根号）．
18．（本小题满分 16 分）
如图，已知椭圆
2 2
2 2 1 ( 0)x y a ba b
的离心率为 2
2
，短轴长为 2，左、右顶
点分别为 A B， ．设点 ( 2 ) ( 0)M m m ， ，连接 MA 交椭圆于点 C ．
（1）求该椭圆的标准方程；
（第 18 题图）
（2）若 OC CM ，求四边形 OBMC 的面积．
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 2( ) 2lnf x x ax x （其中 a 为常数）．
（1）求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）设函数 ( )f x 有两个极值点 1 2 1 2 ( )x x x x， ，若 1 2( )f x mx＞ 恒成立，求实数 m 的取值范围．
20．（本小题满分 16 分）
对于数列{ }na ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{ }na 为 P 数列．
（1）若{ }na 的前 n 项和 3 2n
nS ，试判断{ }na 是否是 P 数列，并说明理由；
（2）设数列 1 2 3 10a a a a， ， ， ， 是首项为 1 ，公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数列，求 d 的取值范围；
（3）设无穷数列{ }na 是首项为 a 、公比为 q 的等比数列，有穷数列{ } { }n nb c， 是从{ }na 中取出部分项按原来的顺
序所组成的不同数列，其所有项和分别为 1 2T T， ，求{ }na 是 P 数列时 a 与 q 所满足的条件，并证明命题“若
0a 且 1 2T T ，则{ }na 不是 P 数列”．
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数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的
前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，设点 ( 5)P x， 在矩阵 M 1 2
3 4
对应的变换下得到点 ( 2 )Q y y ， ，求 1 x
y
M ．
B ．选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
sin( ) 24
，曲线 C 的参数方程为 2 cos 3( )sin 2 2
x
y
， ≤ ≤ ，求 l 与曲线 C 交点的直角坐标．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
在四棱锥 P ABCD 中， //AB CD ， 2 2 2 4AB CD BC AD ， 60DAB ，AE BE ， PAD△ 为正三角形，
且平面 PAD 平面 ABCD ．
（1）求二面角 P EC D 的余弦值；
（2）线段 PC 上是否存在一点 M ，使得异面直线 DM 和 PE 所成的角的余弦值为
6
8
？若存在，指出点 M 的位置；若不存在，请说明理由．
（第 22 题图）
23．（本小题满分 10 分）
已知非空集合 M 满足 {0 1 2 }M n ，， ， ， *( 2 )n n N≥ ， ．若存在非负整数 ( )k k n≤ ，使得当 a M 时，均有
2k a M ，则称集合 M 具有性质 P ．记具有性质 P 的集合 M 的个数为 ( )f n ．
（1）求 (2)f 的值；
（2）求 ( )f n 的表达式．
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参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1．{ |1 2}x x ≤ 2．2 3．280 4． 1(0 ]2
， 5．2 6．52 7． 5
6 8． π
2
9． 1
3 10． 1
2
11．53066 12．4 13． 2 4[1 ]3 3
， 14． 16 5
5
解答与提示：
1． { |1 2}A B x x ≤ ．
2． 2 i (2 i)(1 i) 2 2 i1 i 2 2 2
a a a az
．因为 z 为纯虚数，所以 2 0
2 0
a
a
，
，解得 2a ．
3．由图可知，时速在区间[80 90) [110 120)， ， ， 的频率为 (0.01 0.02) 10 0.3 ，所以时速在区间[90 110)， 的频率为
1 0.3 ，所以时速在区间[90,110) 的车辆约为 400 0.7 280 辆．
4．由 1 2 0
0
x
x
≥ ，
， 解得 10 2x ≤ ，即函数 ( )f x 的定义域为 1(0 ]2
， ．
5．离心率 1 31
ce a
，所以 2 ．
6．执行第一次循环 10 5S i ， ；执行第二次循环 20 7S i ， ；
执行第三次循环 34 9S i ， ；执行第四次循环 52 11S i ， ，终止循环．
所以 52S ．
7．记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P2，三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，312，
321．方案一坐“3 号”车可能：132，213，231，所以 1
3
6P ；方案二坐“3 号”车可能：312，321，所以 2
2
6P ．则
该嘉宾坐到“3 号”车的概率 1 2
5
6P P P ．
8． ( ) cos sinf x x x x ，所以在 π
2x 处的切线的斜率为 π π( )2 2k f ．
9．
2 3
1
2
1 3 5
6
16
[1 ( ) ]
1 11
(1 ) 1 3
1
a q
a a a q
a qS q
q
．
10．因为 π2 sin cos( )4
，解得 1tan 3
，所以
1 1π 13tan( ) 14 21 3
．
11．如图， 10AB （寸），则 5AD （寸）， 1CD （寸），设圆 O 的半径为 x（寸），则 ( 1)OD x
（寸）．在 Rt ADO△ ，由勾股定理可得 2 2 25 ( 1)x x ，解得 13x （寸），则该木材的体
积约为 2 2100 13 16900x （立方寸）．
12．函数 ( )f x 的图象如右图所示，由题意， 30 ( ) 2f x ，即 31 9x ，因为 1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x
所以 3 1 3 3( ) (3 )x f x x x ，令 3 (1,3)t x ，构造函数 3 2( ) 3g t t t ， 2( ) 3 6g t t t ，
所以当 2t 时， max( ) (2) 4g t g ，所以 3 1( )x f x 的最大值为 4．
13．设正方形 ABCD 的边长为 a，以 A 为原点， AB AD， 所在直线为分别为 x y， 轴建立平面直
角坐标系，则 (0 0) ( 0) ( ) (0 )A B a C a a D a， ， ， ， ， ， ， ．设 ( )P x y， ，因为 0CP DP ，所以 ( ) ( ) 0x a y a x y a ， ， ，
即
2
2 2( ) ( )2 4
a ax y a ，设
cos2 2
sin2
a ax
ay a
，
．
又 因 为 ( ) ( )2 2
a aE a F a， ， ， ， AP AE AF ， 所 以 ( ) ( ) ( )2 2
a ax y a a ， ， ， ， 即 2
2
ax a
ay a
，
，
所 以
2 2 3 2( ) [ (sin cos )] 1 sin( )3 3 2 2 3 4
a ax ya a
，由 P 为正方形 ABCD 内部一点（包含边界），
可得 [ 2 ] ， ，所以 [ ]4 4 4
， ，所以 2 2 41 sin( ) [1 ]3 4 3 3
， ．
14．法一：设 AD t ，则 3CD t ， 4AC t ，
在 ABD△ 中，
2 2 2( 2)cos
2 2
t cADB
t
，
在 BDC△ 中，
2 2 2(3 ) ( 2)cos
2 2 3
t aBDC
t
，
又 cos cosADB BDC ，
所以
2 2 2 2 2 2( 2) (3 ) ( 2)
2 2 2 2 3
t c t a
t t
，解得 2 2 212 3 8t c a ，①
在 ABC△ 中， 2 2 2 2(4 ) 2 cosAC t a c ac B ，即 2 2 2 116 2t a c ac ，②
由①②可得 2 2 39 322a c ac ．
所以 2 2 2 23 3 3 532 ( 3 ) (3 ) ( 3 ) ( ) ( 3 )2 2 2 8
a ca c a c a c a c ≥ ，
即 2 8 32( 3 ) 5a c ≤ ，所以 16 53 5a c ≤ ，
当且仅当 3a c ，即 8 5 8 5,5 15a c 时等号成立，
所以 3AB BC 的最大值为16 5
5
．
法二：因为 3CD AD ，所以 3CD DA ，即 3( )BD BC BA BD ，
整理得到 3 1
4 4BD BA BC ，两边平方后有 2 2 29 1 3
16 16 8BD BA BC BA BC ，
所以 2 29 1 32 16 16 8BA BC BA BC 即 2 29 1 3 12 | | | |16 16 8 4BA BC BA BC ，
整理得到 2 2 332 9 | | | | | | | |2BA BC BA BC ，
设 | | | |c BA a BC ， ，所以 2 2 23 932 9 (3 )2 2c a ac c a ac ，
因为 29 3 3 3 3( )2 2 2 2
ac a c c a ≤ ，
所以 2 2 2 29 3 532 (3 ) (3 ) (3 ) (3 )2 8 8c a ac c a c a c a ≥ ，
8 32 16 53 5 5c a ≤ ，当且仅当 8 5 8 5
5 15a c ， 时等号成立，
所以 3AB BC 的最大值为16 5
5
．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．（本小题满分 14 分）
解：（1）因为 1a 且 3 cos sinC c A ，所以 3 cos sina C c A ， ······················ 2 分
在 ABC△ 中，由正弦定理
sin sin
a c
A C
，所以 sin sina C c A ，
所以 3sin cos sin sinA C C A ． ··························································· 4 分
因为 (0 )A ， ，所以 sin 0A ，所以 3 cos sinC C ，
因为 (0 )C ， ，所以 sin 0C ，所以 cos 0C ，所以 tan 3C ， ··············6 分
因为 (0 )C ， ，所以
3C ．································································8 分
（2）由（1）知，
3ACB ，因为 1a ， 3b ，
所以 ABC△ 的面积 1 3 3 3sin sin2 2 3 4ABCS ab ACB △ ，·························10 分
因为 D 是 AB 上的点， CD平分 ACB ，
所以
1 sin 12 6
1 3sin2 6
BCD
ACD
a CDS a
S bb CD
△
△
，····················································· 12 分
因为 ABC ACD BCDS S S △ △ △ ，所以 3 3 3 3 9 3
4 4 4 16ACD ABCS S △ △ ．············· 14 分
16．（本小题满分 14 分）
证：（1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB CD∥ ．
········································································································2
又 AB 平面 PDC，CD 平面 PDC，
所以 AB∥ 平面 PDC，········································································· 5
又因为 AB 平面 ABE，平面 ABE∩平面 PDC EF ，
所以 AB EF∥ ．·················································································· 7 分
（2）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB⊥AD．
因为 AF⊥EF，（1）中已证 AB EF∥ ，
所以 AB⊥AF，··················································································· 9 分
因为 AB⊥AD，由点 E 在棱 PC 上（异于点 C），
所以 F 点异于点 D，所以 AF AD A ，
又 AF AD， 平面 PAD，所以 AB⊥平面 PAD，········································12 分
又 AB 平面 ABCD，所以平面 PAD⊥平面 ABCD．·································· 14 分
17．（本小题满分 14 分）
解：（1）由题意 AOC COD ，设四边形OCDB 的面积为 ( )S ，
因为四边形 OCDB 可以分为 OCD△ 和 OBD△ 两部分，
所以 1 1( ) sin sin( 2 )2 2OCD OBDS S S OC OD OB OD △ △ ，················3 分
因为 1OB OC OD ，所以 1( ) (sin sin 2 )2S ．
因为 0 2 0 ， ，所以 0 2
．
所以四边形 OCDB 的面积 1( ) (sin sin 2 ) (0 )2 2S ， ， ．·······················6 分
（2）由（1） 1( ) (sin sin 2 ) (0 )2 2S ， ， ，
所以 2 21 1( ) ( sin ) (sin cos ) cos cos sin2 2S 21 (4cos cos 2)2
，
令 ( ) 0S ，即 24cos cos 2 0 ，解得 1 33cos 8
或 1 33cos 8
，
因为 0 2
，所以存在唯一的 0 ，使得 0
1 33cos 8
．····················· 10 分
当 00 时， ( ) 0S ， ( )S 在 0(0 )， 单调递增；
当 0 2
时， ( ) 0S ， ( )S 在 0( )2
， 单调递减，
所以 0 时， max 0( ) ( )S S ，···························································12 分
此时 2 2 2
02 cos( 2 )BD OB OD OB OD
2 2
0 0 01 1 2cos2 2 2(2cos 1) 4cos ，
从而 0
1 332cos 4BD （千米）．
答：当四边形 OCDB 的面积最大时，BD 的长为 1 33
4
千米．·················· 14 分
18．（本小题满分 16 分）
解：（1）因为椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 2
2
，短轴长为 2，
所以 2 2 2
2 2
2
2
b
a b c
c
a
，
，
，
解得 2 1a b ， ，
所以该椭圆的标准方程为
2
2 12
x y ．·····················································4 分
（2）因为点 ( 2 ) ( 0) ( 2 0)M m m A ， ， ， ，
所以直线 AM 的方程为 ( 2)
2 2
my x ，即 2 ( 2)4
my x ．
由
2
2 12
2 ( 2)4
x y
my x
，
，
消去 y 得 2 2 2 2( 4) 2 2 2 8 0m x m x m ．··············· 7 分
设 0 0( )C x y， ，则
2
0 2
2 82 4
mx m
，所以
2
0 2
2 4 2
4
mx m
，所以 0 2
4
4
my m
．
连接 OM ，取 OM 的中点 R ，则 2( )2 2
mR ， ，··········································10 分
连接 CR ，因为 OC CM ，所以CR OM ．
又
30
2
0
42
2 2 4 2 3 2
2
OM CR
mym m mk k
mx
， ，
所以
3
2
4 1
2 4 2 3 2
m m m
m
，即 4 22 8 0m m ，
因为 0m ，所以 2m ，··································································13 分
所以四边形 OBMC 的面积
2
1 1 4 2 42 2 2 22 2 3( 2) 4ABM AOCS S S
△ △ ．
······································································································ 16 分
19．（本小题满分 16 分）
解：（1）因为 2( ) 2lnf x x ax x ，所以
22 2( ) ( 0)x axf x xx
．················ 2 分
令 2( ) 2 2p x x ax ， 2 16a ，
当 0 ≤ 即 4 4a ≤ ≤ 时， ( ) 0p x ≥ ，即 ( ) 0f x ≥ ，
所以函数 ( )f x 单调递增区间为 (0 ) ， ．
当 0 即 4a 或 4a 时，
2 2
1 2
16 16
4 4
a a a ax x ， ．
若 4a ，则 1 2 0x x ，所以 ( ) 0p x ，即 ( ) 0f x ，
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0 ) ， ．
若 4a ，则 2 1 0x x ，由 ( ) 0f x 即 ( ) 0p x ，得 10 x x 或 2x x ；
由 ( ) 0f x ，即 ( ) 0p x 得 1 2x x x ．
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 1 2(0 ) ( )x x ， ， ， ；单调递减区间为 1 2( )x x， ．
综上，当 4a ≤ 时，函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0 ) ， ，无减区间；当 4a 时，函数 ( )f x 的单调递增区间
为 1 2(0 ) ( )x x ， ， ， ，单调递减区间为 1 2( )x x， ．········································ 6 分
（2）由（1）得
22 2( ) ( 0)x axf x xx
，
若 ( )f x 有两个极值点 1 2x x， ，则 1 2x x， 是方程 22 2 0x ax 的两个不等正实根，
由（1）知 4a ．则 1 2 1 22 12
ax x x x ， ，故 1 20 1x x ，···················· 8 分
要使 1 2( )f x mx 恒成立，只需 1
2
( )f x mx
恒成立．
因为
2 2 2
31 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2
1
( ) 2ln 2 2 2ln 2 2 ln1
f x x ax x x x x x x x xx x
x
，········ 10 分
令 3( ) 2 2 ln (0 1)h t t t t t t ，则 2( ) 3 2lnh t t t ，·························· 12 分
当 0 1t 时， ( ) 0h t ， ( )h t 为减函数，所以 ( ) (1) 3h t h ．···················14 分
由题意，要使 1 2( )f x mx 恒成立，只需满足 3m ≤ ．
所以实数 m 的取值范围 ( 3] ， ．························································16 分
20．（本小题满分 16 分）
解：（1）由 3 2n
nS ，可知 1 1 2 3n
n n na S S ，
故 1 3 2 0n
n na S 对一切正整数 n 都成立，故{ }na 是 P 数列．················· 3 分
（2）由题意知，该数列的前 n 项和为 ( 1)
2n
n nS n d ， 1 1na nd ，
由数列 1 2 3 10a a a a， ， ， ， 是 P 数列，可知 2 1 1a S a ，故公差 0d ．
2
1
3(1 ) 1 02 2n n
dS a n d n 对满足1 9n≤ ≤ 中的每一个正整数 n 都成立，
即 2 3(1 ) 1 02 2
d n d n 对于1 9n≤ ≤ 都成立．········································6 分
由
2
2
31 (1 ) 1 02 2
39 9(1 ) 1 02 2
d d
d d
，
，
可得 80 27d ，故 d 的取值范围是 8(0 )27
， ．····· 8 分
（3）若{ }na 是 P 数列，则 1 2a S a aq ，
若 0a ，则 1q ，又由 1n na S 对一切正整数 n 都成立，
可知 1
1
n
n qaq a q
，即 12 ( )nq q
对一切正整数 n 都成立，
由 1( ) 0n
q
， 1( ) (0 1)n
q
， ，故 2 0q ≤ ，可得 2q≥ ．
若 0a ，则 1q ，又由 1n na S 对一切正整数 n 都成立，
可知 1
1
n
n qaq a q
，即 (2 ) 1nq q 对一切正整数 n 都成立，
又当 ( 1]q ， 时， (2 ) 1nq q 当 2n 时不成立，
故有 (0 1)
(2 ) 1
q
q q
， ，
，或 2
( 1 0)
(2 ) 1
q
q q
， ，
，
解得 1 5( 0) (0 1)2q ， ， ．
所以{ }na 是 P 数列时， a 与 q 所满足的条件为 0
2
a
q
，
≥ ，或
0
1 5(0 1) ( 0)2
a
q
，
， ， ．12 分
下面用反证法证明命题“若 0a 且 1 2T T ，则{ }na 不是 P 数列”．
假设{ }na 是 P 数列，由 0a ，可知 2q≥ 且{ }na 中每一项均为正数，
若{ }nb 中的每一项都在{ }nc 中，则由这两数列是不同数列，可知 1 2T T ，
若{ }nc 中的每一项都在{ }nb 中，同理可得 1 2T T ．
若{ }nb 中至少有一项不在{ }nc 中且{ }nc 中至少有一项不在{ }nb 中，
设{ } { }n nb c ， 是将{ } { }n nb c， 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为 1 2T T ， ，
不妨设{ },{ }n nb c 中的最大项在{ }nb 中，设为 ma ，则 2m≥ ，
则 2 1 2 1 1m mT a a a a T ≤ ≤ ，故 2 1T T ，所以 2 1T T ，
故总有 1 2T T ，与 1 2T T 矛盾．故{ }na 不是 P 数列．································· 16 分
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括 A 、 B 、C三小题，请选定其中两题．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．
A ．选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）
解：依题意 1 2
3 4
5
x
2y
y
，即 10 2
3 20
x y
x y
，
， 解得 4
8
x
y
，
， ·····················3 分
由逆矩阵公式知，矩阵 M 1 2
3 4
的逆矩阵 1
2 1
3 1
2 2
M ，···················· 7 分
所以 1 x
y
M
2 1
3 1
2 2
4
8
16
10
．··············································· 10 分
B ．选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
解：直线 2 2( sin cos ) 22 2l ： ，
所以直线 l 的直角坐标方程为 2 0x y ．··············································3 分
曲线 C 的普通方程为 2 2( 2) 1 ( 3 2)x y x ≤ ≤ ，··································6 分
2 2
2 0
( 2) 1 ( 3 2)
x y
x y x
，
≤ ≤ - ，
消去 y 整理得 22 8 7 0x x ，
则 22 2x ，所以交点坐标为 2 2( 2 )2 2
， ．··································10 分
【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
解：设 O是 AD 中点， PAD△ 为正三角形，则 PO AD ．
因为平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD AD ，PO 平面 PAD
所以 PO ABCD 面 ．
又因为 2AD AE ， 60DAB ，
所以 ADE△ 为正三角形，
所以 OE AD ．
建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ，
则 (0 0 3) (0 3 0) ( 2 3 0) ( 1 0 0)P E C D ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
于是 ( 2 3 3) (0 3 3) (1 0 3)PC PE DP ， ， ， ， ， ， ， ， ．····················2 分
（1）设平面 PEC 的法向量为 1 ( )x y z ， ，n ，
由 1 10, 0PC PE
n n ，得一个法向量为 1 (0 1 1) ，，n ，
平面 EDC 的一个法向量为 2 (0 0 1) ， ，n ，
所以 1 2
1 2cos 22
，n n ，
又由图可得二面角 P EC D 为锐角，
所以二面角 P EC D 的余弦值为 2
2
．················································· 4 分
（2）设 (0 1)PM PC ≤ ≤ ，则 ( 2 3 3 )PM ， ， ，
(1 2 3 3 3 )DM DP PM ， ， ， (0 3 3)PE ， ， ，················· 6 分
所以
2
| 6 3| 6| cos | | | 8| || | 6 10 10 4
DM PEDM PE
DM PE
， ，················· 8 分
解得 1
3
或 2
3
，所以存在点 M 为线段 PC 的三等分点．··························· 10 分
23．（本小题满分 10 分）
解：（1）当 2n 时， {0} {1} {2} {0 2} {0 1 2}M ， ， ， ， ， ，， 具有性质 P ，
对应的 k 分别为 0 1 2 1 1，， ，，，故 (2) 5f ．··············································· 3 分
（2）设当 n t 时，具有性质 P 的集合 M 的个数为 ( )f t ，
则当 1n t 时， ( 1) ( ) ( 1)f t f t g t ，
其中 ( 1)g t 表示 1t M 时也具有性质 P 的集合 M 的个数，
下面计算 ( 1)g t 关于 t 的表达式，
此时应有 2 1k t ≥ ，即 1
2
tk ≥ ，故对 n t 分奇偶讨论．
①当 t 为偶数时， 1t 为奇数，故应该有 2
2
tk ≥ ，
则对每一个 k ， 1t 和 2 1k t 必然属于集合 M ，
且 t 和 2k t ，， k 和 k 共有 1t k 组数，
每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合 M ，
故对每一个 k ，对应具有性质 P 的集合 M 的个数为 0 1 1 1
1 1 1 2t k t k
t k t k t kC C C
，
所以
2
12 2 2( 1) 2 2 2 1 2 2 1
t t t
g t
．··········································5 分
②当 t 为奇数时， 1t 为偶数，故应该有 1
2
tk ≥ ，
同理
1 1
12 2 2( 1) 2 2 2 1 2 2 2 1
t t t
g t
，····································· 7 分
综上，可得
2
2
( ) 2 2 1( 1)
( ) 2 2 2 1
t
t
f t tf t
f t t
，为偶数，
，为奇数，
又 (2) 5f ，
由累加法解得
2
1
2
6 2 5( )
4 2 5
t
t
t tf t
t t
，为偶数，
，为奇数，
即
2
1
2
6 2 5( )
4 2 5
n
n
n nf n
n n
，为偶数，
，为奇数．
······················································· 10 分