- 946.00 KB
- 2024-05-10 发布
安徽省望江中学2012~2013年度第一学期期中考试
高三数学试题（文）
(考试时间：120分钟满分:150分）
一.选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
1．函数的定义域为 ( )
A． B． C． D．
2．已知复数（其中，是虚数单位），则的值为( )
A． B． C．0 D．2
3．如果函数的最小正周期为，则的值为 ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分l00分)的茎叶图如图l，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则的值为 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
5．已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(m，m+1)，
若∥，则实数m的值为 ( )
A． B． C． D．
6已知函数(e是自然对数的底数)，
若，则的值为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
7．等差数列的前n项和的最大值为（ ）
A．35 B．36 C．6 D．7
8．已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．
若， ，则的值为 ( )
A． B． C． D．
9．函数的图象大致是 （ ）
10．已知函数，对于任意正数，是
成立的 ( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 已知函数 , ，
则f(g(π))的值为=______________
12命题“存在R，0”的否定命题是.__________________________
13. 设点是不等式组表示的平面区域
内的一动点，，则（O为坐标原点）的取值范围是______
14. 程序框图如图，运行此程序，输出结果b=______.
15．对于函数与函数有下
列命题：
①函数的图像关于对称；
②函数有且只有一个零点；
③函数和函数图像上存在平行的切线；[来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网]
④若函数在点P处的切线平行于函数在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为
其中正确的命题是 。（将所有正确命题的序号都填上）
三.解答题（本大题共6题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)
已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，，且，，求的值．
（分数）
0 40 50 60 70 80 90 100
频率
组距
0.010
0.005
0.020
图2
0.025
a
17．（本小题满分12分）
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考 试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，
，…，后得到如图2的频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该 校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
18.(本题满分12分)
如图所示，设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，设的坐标为（an,0）,A0为原点
（1） 求，并求出和之间的关系式；[来源:Z。xx。k.Com]
（2） 求数列的通项公式；
（3） 设，求数列的前n项和Sn
19.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=- x2+ax-lnx-1
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）在（2，4）上是减函数，求实数a的取值范围.
20（本小题满分13分）
已知数列中，.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）对于有
证明：
21．(本小题满分l4分)
已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)是否存在实数a，使得函数的极值大于0?若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.
安徽省望江中学2012~2013年度第一学期期中考试
高三数学试题（文）参考答案及评分标准
16．(本小题满分12分)
(1)解：
……………2分
……4分
∴函数f(x)的最小正周期为. ……………6分
(2)解：由(1)得.
，
. ………8分
。
，. ……………10分
………11分
………12分
17．（本小题满分12分）
（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以．……………………1分
解得． ………………………………………………2分
（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为． …………3分
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人． …………………………………………………………………5分
(3)解：成绩在分数段内的人数为人，
分别记为，． ……… ……………6分
成绩在分数段内的人数为人，分别记为，，，． …………………7分[来源:学科网ZXXK]
若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，， 共15种． …………………………………………9分
如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，共7种．………11分
所以所求概率为．………………………………………………12分
18.(本题满分12分)
设
19.（本小题满分12分）
.解：（1）……………………………………………1分
…………………………4分
函数f（x）的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0. 函数f（x）为减函数；在区间（，1）上f ′（x）＞0. 函数f（x）为增函数. ………6分
（2）函数f（x）在（2，4）上是减函数，则
，在x∈（2，4）上恒成立. ………………7分
……………………………9分
…………………11分
实数a的取值范围 ………………………12分
20（本小题满分13分）
. 解（1）， 2分
（2）当为偶数时，
， 3分
5分
当为奇数时，，
，，
7分[来源:Z,xx,k.Com]
当时，
当时，， 8分
或解： 2分
当为偶数时： 5分
当为奇数时： 7分
所以 8分
或解：由 证明当时成立 5分
假设当时， 7分
对任意有 8分
（3），，
13分
21．(本小题满分l4分)
(1)解：函数f(x)的定义域为. ……1分
. ……2分
①当a=0时，，
∴函数f(x)单调递增区间为 . ……3分
②当时，令f'(x)=0得，
. .
(i)当，即时，得，故，
∴函数f(x)的单调递增区间为. ……4分
(ii)当，即时，方程的两个实根分别为
. ……5分
若，则，此时，当时，.
∴函数f(x)的单调递增区间为， ……………6分
若a>0，则，
此时，当时，，当时，，
∴函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. ………7分
综上所述，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为
，单调递减区间为：
当时，函数f(x)的单调递增区间为，无单调递减区间． ……………8分
(2)解：由(1)得当时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)无极值； ………9分
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为
；
则f(x)有极大值，其值为，其中…10分而，即， ……11分
.
设函数，则， …………12分
则在上为增函数．
又h(1)=0，则h(x)>0等价于x>1．
等价于. ………13分
即在a>0时，方程的大根大于1，
设，由于的图象是开口向上的抛物线，且经过点（0，-1），对称轴，则只需，即
a-1-1<0解得a<2，而a>0，
故实数a的取值范围为(0，2)． ………14分
说明：若采用下面的方法求出实数a的取值范围的同样给1分．
1．由于在是减函数，
而时，a=2，故的解集为（0，2），
从而实数a的取值范围为(0，2)．
2．解不等式，而a>0，通过分类讨论得出实数a的取值范围为(0，2).