2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版） 19页

‎2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若，且为第二象限角，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由同角三角函数间的基本关系即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵sinα，且α为第二象限角，‎ ‎∴cosα，‎ ‎∴tanα．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数间的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．‎ ‎2．利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得概率为线段长度之比，计算可得．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得总的线段长度为1﹣0＝1，‎ 在其中满足3a﹣2＜0，即a，‎ ‎∴所求概率P，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎3．总体由编号为的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号 依次为16，08，02，14，07，01，‎ 则第5个个体的编号为07．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】函数的图象平移|k|个单位(k>0向左；k<0,向右)所得图像对应函数为令故选C ‎5．把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人分得1张 , 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）‎ A．对立事件 B．两个不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．两个概率不相等的事件 ‎【答案】C ‎【解析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，‎ 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，‎ 但能同时不发生，‎ ‎∴事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对立事件、互斥事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．‎ ‎6．已知的三个内角的对边分别为，已知，则的面积等于（ ）‎ A． B． C．9 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据余弦定理可求a的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵b，c＝4，cosB，‎ ‎∴sinB，‎ ‎∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：7＝a2+16﹣2，‎ 整理可得：a2﹣6a+9＝0，解得：a＝3，‎ ‎∴S△ABC．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎7．从装有个红球、个白球的袋中任取2个球，则所取的2个球都是红球的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ 从装有3个红球和2个白球的袋中任取2个球，‎ 基本事件总数n＝C52＝10，‎ 所取的2个球中所取的2个球都是红球包含的基本事件个数：m＝C32＝3，‎ ‎∴所取的2个球都是红球的概率是P．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎8．已知函数，则的一个单调递减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数化简可得，‎ 由，解得，则的一个单调递减区间是，故选A.‎ ‎9．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离 ‎，故选B.‎ ‎【考点】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.‎ ‎10．总体的样本数据的频率分布直方图如图所示. ‎ 总体中的数据不超过, 总体中的数据不超过. 则的估计值为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出每一小组的频率，结合体50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，即可求出a，b的值．‎ ‎【详解】‎ 由于第一组频率为0.02×4＝0.08，第二组频率为0.08×4＝0.32，第三组频率为0.09×4＝0.36，第四，组组频率为0.03×4＝0.12，‎ 则a＝18+4，‎ 由于0.08+0.32+0.36＝0.76，‎ 则b＝22+4，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图，属于基础题．‎ ‎11．如果函数的图象关于直线对称，那么该函数的最大值为（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数的辅助角公式求出最大值，结合三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ y＝sin2x+acos2x（sin2x•cos2x），‎ ‎(令cosθ，则sinθ），则y（sin2xcosθ+cos2xsinθ）sin（2x+θ），‎ 则函数的最大值为，‎ ‎∵函数y＝sin2x+acos2x的图象关于直线对称，‎ ‎∴sin（2）+acos（2）＝±，‎ 即，sinacos±，‎ 则a＝±，‎ 平方得aa2＝1+a2．‎ 得a2﹣2a+3＝0，‎ 即（a）2＝0，则a，‎ 则函数的最大值为2，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的对称性及最值的求解，结合辅助角和公式求出最大值，利用三角函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎12．已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）‎ A． B．‎ C．2 D．-2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，故选A.‎ ‎【考点】双曲线的方程．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了双曲线的方程及点差法，属于中档题.解答本题的关键是根据直线与双曲线相交于两点，即两点在双曲线上，其坐标满足双曲线方程，再由为的中点，据此表示出直线的斜率表达式，根据斜率公式表示出的斜率，即可求得结论.这种方法常称为点差法，往往涉及二次曲线的中点弦时，考虑用这种方法处理.‎ 二、填空题 ‎13．函数的最小正周期为_____________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】函数.‎ 最小正周期为2.‎ ‎14．某同学4次三级跳远成绩(单位：米)分别为，已知这四次成绩的平均数为10，标准差为，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据平均数和标准差的定义，列出方程组求出xy的值．‎ ‎【详解】‎ 数据x，y，11，9的平均数为10，标准差为，‎ 则，‎ 化简，得，‎ ‎∴xy（400﹣206）＝97．‎ 故选：97．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平均数与方差的定义与应用问题，是基础题．‎ ‎15．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在内某一时刻随机到达，乙在内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5 }，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题是一个几何概型，‎ 设甲和乙到达的分别为7时x分、7时y分，‎ 则10≤x≤20，5≤y≤20，‎ 甲至少需等待乙5分钟，即y﹣x≥5，‎ 则试验包含的所有区域是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，‎ 甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5}，‎ 如图：‎ 正方形的面积为20×15＝300，阴影部分的面积为15×15，‎ ‎∴甲至少需等待乙5分钟的概率是，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎16．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作MB垂直准线于B，作NC垂直准线于C，作NA垂直MB于A，根据抛物线定义，可得tan∠NMA就是直线l的斜率．‎ ‎【详解】‎ 如图，作MB垂直准线于B，作NC垂直准线于C，‎ 根据抛物线定义，可得MB＝MF，NC＝NF．‎ 作NA垂直MB于A，设FN＝m，则MN＝5m，MA＝MF﹣NF＝3m．‎ 在直角三角形AMN中，tan∠NMA，‎ ‎∴直线l的斜率为±，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义的应用，利用平面几何知识，结合直线斜率与倾斜角的关系求解，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知的三个内角， ， 的对边分别为， ， ，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若， 的面积为，求， 的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用配角公式进行求解；（Ⅱ）利用三角形的面积公式和余弦定理进行求解．‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴由正弦定理得，‎ 又， ，∴， ，∴．　‎ ‎（Ⅱ）∵∴即 ‎∴或 ‎18．哈三中群力校区高二、六班同学用随机抽样的办法对所在校区老师的饮食习惯进行了一次调查, 饮食指数结果用茎叶图表示如图, 图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主. ‎ ‎(1)完成下列列联表：‎ 能否有的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关？‎ ‎(2)从调查的结果中饮食指数在的老师内任选3名老师, 设“选到的三位老师饮食指数之和不超过105”为事件, 求事件发生的概率；‎ ‎(3)为了给食堂提供老师的饮食信息, 根据(1)的结论，能否有更好的抽样方法来估计老师的饮食习惯, 并说明理由.‎ 附: ‎ ‎【答案】（1）有的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关；（2）；（3）分层抽样.‎ ‎【解析】（1）根据茎叶图完成列联表，进而计算的值，查表下结论即可；‎ ‎（2）饮食指数在[30，40]的老师共有5位老师，任选3名老师共10（种）选法，利用列举法得到“选到的三位老师饮食指数之和不超过105”的事件数，进而得解；‎ ‎（3）根据（1）的结论，不超过45岁与超过45岁老师饮食习惯差异较大，最佳的抽样方法为分层抽样.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 主食蔬菜 主食肉类 总计 不超过45岁 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎45岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 总计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 由K210＞6.635，‎ 故能有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关，‎ ‎（2）饮食指数在[30，40]的老师共有5位老师，饮食指数分别为32，33，36，37，39，任选3名老师共10（种）选法，‎ ‎“选到的三位老师饮食指数之和不超过105”为事件A．‎ 其基本事件有，，，共4种，‎ 故P（A），‎ 故答案为：．‎ ‎（3）根据（1）的结论，不超过45岁与超过45岁老师饮食习惯差异较大，为了给食堂提供老师的饮食更科学的信息，最佳的抽样方法为分层抽样，‎ 故答案为：分层抽样．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了K2的运算及古典概率及抽样方法，属简单题.‎ ‎19．袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个, 其中标号为0的小球1个, 标号为1的小球1个, 标号为2的小球2个, 从袋子中不放回地随机抽取2个小球, 记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为.‎ ‎(1) 记事件表示“”, 求事件的概率；‎ ‎(2) 在区间内任取2个实数, 记的最大值为,求事件“”的概率.‎ ‎【答案】）（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）用列举法表示所有基本事件，数出满足“a+b＝2”为事件A的个数，然后利用古典概型求解概率；‎ ‎（2）直接利用几何概型，求解全部结果的区域面积与所求结果的区域面积，求解概率即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件个数有（0，1），（1，0），（0，21），（21，0），（0，22），（22，0），（1，21），（21，1），（1，22），（22，1），（21，22），（22，21）‎ 记事件A表示“a+b＝2”，有（0，21），（21，0），（0，22），（22，0），‎ ‎∴事件A的概率P（A），‎ ‎（2）记“x2+y2＜M”为事件B，‎ ‎（a﹣b）2的最大值为M，则M＝4，‎ 则x2+y2＜M”的概率等价于“x2+y2＜4的概率”，‎ ‎（x，y）可以看成平面中的点的坐标，‎ 则全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，‎ 而事件B构成的区域为B＝{（x，y）|x2+y2＜4，（x，y）∈Ω}．‎ 所以所求的概率为P（B）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型以及几何概型的概率的求法，古典概型的计算关键在于找到所有的基本事件及所求的基本事件个数，几何概型关键在于确定属于“长度型、面积型还是体积型”，基本知识的考查，属于中档题．‎ ‎20．抛物线的图象关于轴对称，顶点在坐标原点，点在抛物线上. ‎ ‎(1)求抛物线的标准方程；‎ ‎(2)设直线的方程为，若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点 ‎，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）由题意可设抛物线的标准方程为：y2＝2px（p＞0），把点P（1，4）代入解得p．可得抛物线C的标准方程．‎ ‎（2）直线l的方程为：y＝kx+1，代入抛物线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意可得：0，可得（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，把根与系数的关系代入即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可设抛物线的标准方程为：y2＝2px（p＞0），把点P（1，4）代入可得：42＝2p×1，解得2p＝16．‎ ‎∴抛物线C的标准方程为：y2＝16x．‎ ‎（2）直线l的方程为：y＝kx+1，代入抛物线方程可得：k2x2+（2k﹣16）x+1＝0，‎ ‎△＝64﹣16k＞0，解得k＜4．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴，．‎ ‎，，‎ ‎ 由题意可得：‎ ‎.‎ ‎∴17k2﹣46k﹣15＝0，‎ 解得k或k＝3．‎ ‎【点睛】‎ 研究直线和圆锥曲线位置关系的问题时，一般用代数方法求解，即将直线方程和曲线方程联立消元后得到二次方程，根据二次方程的判别式、根与系数的关系进行求解，解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用．由于解题中要涉及到大量的运算，所以要注意计算的合理性和准确性．‎ ‎21．设某地区乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 时间代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 储蓄存款（千亿元）‎ ‎3.5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9.5‎ ‎（1）求关于的回归方程，并预测该地区2019年的人民币储蓄存款（用最简分数作答）.‎ ‎（2）在含有一个解释变量的线性模型中，恰好等于相关系数的平方，当时，认为线性回归模型是有效的，请计算并且评价模型的拟合效果（计算结果精确到）.‎ 附：‎ ‎, .‎ ‎【答案】(1) , 预测存款为千亿元；（2）, 线性回归模型拟合的是很有效的.‎ ‎【解析】（1）分别求出，，求出相关系数，从而求出回归方程即可；‎ ‎（2）求出r的值，求出R2，比较即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（1+2+3+4+5+6），‎ ‎（3.5+5+6+7+8+9.5），‎ 故，，‎ 故回归方程为：yx，‎ ‎2019对应的x＝8，‎ x＝8时，y，‎ 故预测存款是千亿元；‎ ‎（2）r0.99699，‎ 故R2≈0.994＞0.8，‎ 故模型的拟合效果有效．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了回归方程问题，考查相关系数以及转化思想，是一道常规题．‎ ‎22．已知椭圆：经过点，离心率为.　‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过坐标原点作直线交椭圆于、两点，过点作的平行线交椭圆于、两点．是否存在常数, 满足？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意可得，解得a2＝12，b2＝8，即可求出椭圆方程，‎ ‎（2）设出直线l的方程为x＝my+2，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求出|AB|，再设直线x＝my，代入椭圆方程，化简可得|OP|，再由计算即可得到所求常数λ．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，解得a2＝12，b2＝8，c2＝4，‎ 故椭圆C的方程为1，‎ ‎（2）设直线AB的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由 得（2m2+3）y2+8my﹣16＝0，‎ 即有y1+y2，y1y2，‎ ‎|AB|••8•，‎ 设P（x3，y3），Q（x4，y4），‎ 由x＝my代入椭圆方程可得 消去x，并整理得y2，‎ ‎∴x2＝m2•，‎ ‎∴|OP|2，‎ ‎∵|AB|＝λ|OP|2，‎ ‎∴8•λ•，‎ ‎∴λ 故存在常数λ，使得|AB|＝λ|OP|2‎ ‎【点睛】‎ 求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎