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- 2024-05-06 发布
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成安一中高二第二学期期末考试
数学（理科）试卷
一、选择题(本大题共12小题，共60分)
1.已知集合M={x|x＜2}， ，则M∩N=（ ）
A. B.{x|-1＜x＜2} C.{x|0＜x＜2} D.{x|1＜x＜2}
2.已知集合M={y|}，P={x|}，则集合M与P的关系是（ ）
A. B. C.M⊊P D.P⊊M
3.下命题中正确的（ ）
A.若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B.命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”
C.“”是“”的充分不必要条件
D.命题“”的否定是“”
4.“”是“”的（ ）
A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
5.已知函数f（x）=，则f（5）=（ ）
A.32 B.16 C. D.
6.下列函数中，既是偶函数又在（-∞，0）内为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8.定义在R上的偶函数f（x）满足，对且，都有，则有（ ）
A. B.
C. D.
9.设，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数在定义域（-1，1）上是减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.若函数f（x）=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间[k-1，k+1]内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A.[1，2） B.（1， 2） C. D.
12.若函数，函数有两个零点，则k的值是（ ）
A.0或 B. C.0 D.
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13.计算： ______ ．
14.函数的单调递减区间是 ______ ．
15.已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围______ ．
16.设函数是奇函数的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，成立，则的x的取值范围是 ______ ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.已知数列{an}的前n项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．
18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，
且满足
（1）求角A．
（2）若边长，且△ABC的面积是，求边长b及c．
19.如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的余弦值．
20.如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的40名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：
（1）求成绩在区间[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；
（2）从成绩在[80，100]内的学生中选出三人，记在90分以上（含90分）的人数为X，求X的分布列及数学期望．
21.已知函数
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．
22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角．
（1）求直线l的参数方程；
（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
成安一中高二第二学期期末考试数学（理科）答案
1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.B 11.D 12.A
13.π 14.[0，1），（1， 2] 15.（-∞，] 616.（-∞，-1）∪（0，1）
17.解：（Ⅰ）由Sn=2an-3，①得a1=3，Sn-1=2an-1-3（n≥2），②
①-②，得an=2an-2an-1，即an=2an-1（n≥2，n∈N），
所以数列{an}是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以（n∈N*）．
（Ⅱ）， ，
作差得，
∴（n∈N*）．
18.解：（1）△ABC中，∵（2b-c）cosA-acosC=0，∴由正弦定理得（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，------（2分）
∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，---------（4分）
∵sinB≠0，∴2cosA=1，∴cosA=0.5，∴A=60°．---------（6分）
（2）由△ABC的面积是=，∴bc=3．
再由a2=b2+c2-2bc•cosA，可得b2+c2=6．
解得b=c=．
19.证明：（1）∵BF⊥平面ACE
∴BF⊥AE…（2分）
∵二面角D-AB-E为直二面角，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE
∴CB⊥AE…（4分）
∴AE⊥平面BCE．…（6分）
解：（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，
∴BG⊥AC，BG=，…（7分）
∵BF垂直于平面ACE，由三垂线定理逆定理得FG⊥AC
∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角…（9分）
由（1）AE⊥平面BCE，得AE⊥EB，
∵AE=EB，BE=．
∴在Rt△BCE中，EC==，…（10分）
由等面积法求得，
则
∴在Rt△BFG中，
故二面角B-AC-E的余弦值为．…（14分）
20.解：（1）根据各组的频率和等于1知，
成绩在[70，80）内的频率为：
f4=1-（0.01×2+0.015+0.020+0.005）×10=0.4，
对应的小矩形的高为=0.04，
补全频率分布直方图如图所示；
依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，
故其频率和为（0.02+0.04+0.01+0.005）×10=0.75，
∴估计学生成绩的及格率是75%；
（2）成绩在[80，100]内的人数为（0.01+0.005）×10×40=6，
且在[80，90）和[90，100）内的人数分别为4人和2人；
∴X的可能取值为0、1、2，
计算P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
数学期望为E（X）=0×+1×+2×=1．
21.解：（Ⅰ）∵f（x）=1+lnx-aex，
∴f′（x）=-aex，x∈（0，+∞）．
由于曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=1-ae=0，
解得，
（Ⅱ）由条件知对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤0恒成立，
此命题等价于a≥对任意x∈（0，+∞）恒成立
令，x∈（0，+∞）．
∴=（-1-lnx），x∈（0，+∞）．
令g（x）=（-1-lnx），x∈（0，+∞）．
则g′（x）=--＜0．
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．
注意到g（1）=0，即x=1是g（x）的零点，
而当x∈（0，1）时，g（x）＞0；当x∈（1，+∞）时， g（x）＜0．
又ex＞0，所以当∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
则当x变化时，h′（x）的变化情况如下表：
x
（0，1）
1
（1，+∞）
h′（x）
+
0
-
h（x）
↗
极大值
↘
因此，函数h（x）在x∈（0，+∞），取得最大值，所以实数a≥．
22.解：（1）∵直线l经过点P（1，2），倾斜角．
∴，（t为参数）．
（2）∵圆C的参数方程为（θ为参数），
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=16，
把直线的方程代入x2+y2=16，
得t2+（2+）t-11=0，
设t1，t2是方程的两个实根，则t1t2=-11，
则|PA|•|PB|=|t1t2|=11．
