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- 2024-05-05 发布
一．单项选择题。（本部分共5道选择题）
1.在等差数列中，,则的前5项和=( )
A.7 B.15 C.20 D.25
解析 .
答案 B
2．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的 ( )．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[来源:Zxxk.Com]
答案 A
3．不等式≤0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．(－1,2]
C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．[－1,2]
解析 ∵≤0⇔⇔[来源:学科网ZXXK]
∴x∈(－1,2]．
答案 B
4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是( )
A．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥β
B．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β
C．若a∥α，b⊂α，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
解析 分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故选项B中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及与交线平行的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C中的结论不成立；根据直线与平面垂直的性质定理知，选项D中的结论成立．正确选项D.
答案 D
5．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．
答案 C
二．填空题。（本部分共2道填空题）
1．有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字．现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S，则“S恰好为4”的概率为________．
解析 本题是一道古典概型问题．用有序实数对(a，b，c)来记连续抛掷3次所得的3个数字，总事件中含4×4×4＝64个基本事件，取S＝a＋b＋c，事件“S恰好为4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三个基本事件，则P(S恰好为4)＝.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
答案
2．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．
解析 由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.
答案 4
三．解答题。（本部分共1道解答题）
设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：
(1)动点P的轨迹方程；
(2)||的最大值，最小值．
解析 (1)直线l过定点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组
消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.
则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
设P(x，y)是AB的中点，则＝(＋)，得[来源:Z.xx.k.Com]
消去k得4x2＋y2－y＝0.
当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，
故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.
(2)由(1)知4x2＋2＝
∴－≤x≤
而|NP|2＝2＋2[来源:学科网ZXXK]
＝2＋
＝－32＋，
∴当x＝－时，||取得最大值，
当x＝时，||取得最小值.