数学理卷·2018届山东省烟台一中、二中（烟台市）高二下学期期中考试（2017-04） 11页

山东省烟台市2016-2017学年高二下学期期中学段考试 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知是虚数单位，复数，则的共轭复数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 用数学归纳法证明“，在验证时，等式左边是 （ ）‎ A． 1 B． C． D．‎ ‎3. 下列推理过程属于演绎推理的为 （ ）‎ A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某种药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验 B．由得出 ‎ C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（每一个顶点与对面重心的连线）交于一点 D．通项公式形如的数列为等比数列，则数列为等比数列 ‎4. 极坐标方程表示的曲线是（ ）‎ A． 圆 B． 椭圆 C. 双曲线 D．抛物线 ‎5. 已知函数，则等于（ ）‎ A．-2 B．2 C. 1 D．-4‎ ‎6. 直线（为参数，是直线的倾斜角）上有两点，它们所对应的参数值分别是，则等于 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 已知函数，给以下四个结论：①的解集为；‎ ‎②是极小值，是极大值；③有极小值，但无最小值；④有极小值，也有最小值.其中正确的是（ ）‎ A．①② B．①②③ C. ①②④ D．②④‎ ‎8. 如图，在平面直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积，以此类比：将曲线与直线及轴所围成（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 若函数在处有极大值，则（ ）‎ A．9 B．3 C. 3或9 D．以上都不对 ‎10. 若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知函数的图象在区间上是连续不断的，如果存在，使得成立，则称为函数在上的“好点”，那么函数在上的“好点”的个数为（ ）‎ A． 1 B． 2 C. 3 D．4‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.如右图，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域.向中随机投一点，则该点落入中的概率为 ．‎ ‎14.如下图，函数的图象在点处的切线方程是，则 ．‎ ‎15.已知如下等式：‎ 以此类推，则2018出现在第 个等式中.‎ ‎16.在实数集中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质：‎ ‎（1）对任意；（2）对任意；‎ ‎（3）对任意，.‎ 关于函数的性质，有如下命题：（1）为偶函数；（2）的处取极小值；（3）的单调增区间为；（4）方程有唯一实根.其中正确的命题的序号是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知复数.‎ ‎（1）当实数取什么值时，复数是纯虚数；‎ ‎（2）若在复平面内对应的点在第二、四象限角平分线上，求.‎ ‎18. （1）当时，试用分析法证明：；‎ ‎（2）已知，.求证：中至少有一个不小于0.‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，，当时，与有两个交点，求实数的取值范围.‎ ‎20. 已知函数，数列满足，.‎ ‎（1）是否存在，使得在处取得极值，若存在，求的值，若不存在，说明理由；‎ ‎（2）求的值，请猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若满足：对任意的，都有恒成立，试确定实数的取值范围.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，与的交点为.‎ ‎（1）判断点与曲线的位置关系；‎ ‎（2）点为曲线上的任意一点，求的最大值. ‎ ‎（理科数学）答案 一、 选择题 ACDCD DBBAB DB 二、 填空题 ‎13. 14.2 15.31 ‎ 三、 解答题 ‎17解：‎ ‎（1）当，即 时，为纯虚数 ‎ ‎（2）当，即或时，为复平面内第二、第四象限角平分线上的点对应的复数 ‎ 若，‎ 若，‎ 所以或 ‎ ‎18.(1).证明：要证 即证 ‎ 只要证 即证 ‎ 即证 只要证 ‎ 而上式显然成立 ‎ 所以 成立 ‎ ‎（2）证明：假设 且 ‎ 由得 ‎ 由得， ‎ 这与矛盾 ‎ 所以假设错误 所以中至少有一个不小于0 ‎ ‎19解（1）在上单调递减 在上恒成立在上恒成立在上恒成立 ‎， ‎ ‎（2）当时，，‎ 与有两个交点 ‎ =在上有两个根 ‎ ‎ 令 ‎ ‎ 时，，在上单调递增 时，，在上单调递减 处有极大值也是最大值， ‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎20解：解：（1）， ‎ 若在处取得极值，则，得，‎ 此时，所以在上单调递增，不存在极值.‎ 所以不存在，使得在处取得极值. ‎ ‎（2）由 猜想. ‎ 用数学归纳法证明 ‎ ② 时显然成立. ‎ ③ ‎②假设当猜想成立，则 ‎ 则当 ‎=‎ ‎ ‎ 由①②可知对一切成立 ‎ ‎21.解：（1）∵，∴， ‎ 当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，‎ 当k＞0时，令，得 当，即时，函数为减函数，‎ 当，即时，函数为增函数， ‎ 综上所述，当k≤0时，函数在（1，+∞）为增函数，‎ 当k＞0时，函数在为减函数，在为增函数． ‎ ‎（2）， ‎ 因为对任意的，都有恒成立 所以当，有成立 ‎ 当时，恒成立，在为增函数 由= 得，所以 ‎ 当时，由 得 ‎ 易知在为减函数，在为增函数 若，则在为减函数，由=‎ 得，所以 若，则在为减函数，在为增函数，‎ 所以=，‎ 而时恒成立，所以适合题意 ‎ 若，则在为减函数，在为增函数，‎ 所以= ，‎ 令，， ‎ 则，所以在为减函数，所以，所以适合题意 综上所述： ‎ ‎22.解：（1）法一：由得， ‎ 所以与的交点的极坐标为，即点的直角坐标为．‎ 又曲线C的普通方程为， ‎ 且，所以点M在曲线上． ‎ 法二：直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为．‎ 由得所以与的交点的直角坐标为． ‎ 又曲线C的普通方程为，且，所以点M在曲线上． ‎ ‎（2）法一：设点P的直角坐标为， ‎ ‎，‎ 当时，， ‎ 所以的最大值为． ‎ 法二：设点P，其中， ‎ 则,‎ 所以当时，， ‎ 所以的最大值为． ‎