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- 2024-05-04 发布
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C． D．
2.若椭圆的离心率为，则（ ）
A． B．4 C．或4 D．
3.若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
4.在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A． B． C. D．
5. 直线是异面直线，是平面，若，则下列说法正确的是（ ）
A．至少与中的一条相交 B．至多与中的一条相交
C. 与都相交 D．与都不相交
6.对于命题和，若且为真命题，则下列四个命题：
①或是真命题；②且是真命题；③且是假命题；④或是假命题.其中真命题是（ ）
A．①③ B．③④ C. ①② D．②④
7.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C. D．或
8.如图所示是的图象，则正确判断的个数是（ ）
（1）在上是减函数；
（2）是极大值点；
（3）是极值点；
（4）在上先减后增.
A．2 B．1 C. 0 D．3
9.将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C. D．
10.设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过作的垂线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C. D．
11.已知函数的图象与轴切于点，则在的最大值、最小值分别为（ ）
A． B． C. D．
12.下列四种说法中，错误的个数是（ ）
①命题“若函数，则”是真命题；
②“若，则”的逆命题为真；
③“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；
④命题“，均有”的否定是：“，使得”
A．0个 B．1个 C.2个 D．3个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某几何体的三视图如图所示，则其体积为 ．
14.若函数在内单调递减，则实数的取值范围是 ．
15.已知双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 ．
16.已知直线：，抛物线上一动点到轴和直线的距离之和的最小值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）已知命题：点不在圆的内部，命题：“曲线：表示焦点在轴上的椭圆”.若“且”是真命题，求的取值范围.
18. （本小题满分12分）如图，在四面体中，，，点分别是的中点.
求证：（1）直线面；
（2）平面面.
19. （本小题满分12分）如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面，.
（1）求证：平面面；
（2）若，求四棱锥的体积.
20. （本小题满分12分）已知圆:.
（1）若不过原点的直线与圆相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求点的轨迹方程.
21. （本小题满分12分）设.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若是函数的极大值点，求的取值范围
22. （本小题满分12分）已知点是圆：上任意一点（是圆心），点与点关于原点对称.线段的中垂线分别与交于两点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）直线经过，与抛物线交于两点，与交于两点.当以
为直径的圆经过时，求.
试卷答案
一、选择题
1-5:DCCBA 6-10:ABADC 11、12：BC
二、填空题
13. 14. 15. 16. 1
三、解答题
17.解：若为真：，解得或，若为真：则，解得或
∵面，面，∴直线面；
（2）∵，，∴，∵，是的中点，∴，
又，∴面，∵面，∴面面.
19.（1）证明：∵是菱形，∴，∵面，面，∴面，∵是矩形，∴，∵面，面，∴
面，∵面，面，，∴面面.
（2）解：连接，，
∵是菱形，∴，∵面，面，∴，∵面，，∴面，∴为四棱锥的高，由是菱形，，则为等边三角形，由，则，∵，∴.
20.解：（1）由圆：得圆心坐标为，半径，∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，∴设直线的方程为.
∵直线与圆相切，∴，∴或.
所以所求直线的方程为或.
（2）∵切线与半径垂直，设，又∵，
∴，化简得.点的轨迹方程是.
21.解：（1）当时，，，
所以曲线在点处的切线的斜率为.
所求切线方程为，即.
（2），令得
，由已知，
①当即时，，随的变化情况如下表：
1
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
由表知是函数的极小值点，不合题意；
②当即时，，随的变化情况如下表：
1
+
0
+
递增
非极值
递增
由表知不是函数的极值点，不合题意；
③当即时，，随的变化情况如下表：
1
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
由表知不是函数的极大值点，符合题意；
综上，当时是函数的极大值点，即所求取值范围是.
22.解：（1）由题意得，，圆的半径为4，且，从而，∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中长轴，得到，焦距，则短半轴，∴椭圆方程为.
（2）当直线与轴垂直时，，又，此时，所以以为直径的圆不经过，不满足条件.
当直线不与轴垂直时，设：，由即，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点.
设，则，，因为以为直径的圆经过，所以，又，所以即，所以解得，由得，因为直线与抛物线有两个交点，所以，设，则，所以.