2019届二轮复习集合与常用逻辑作业（全国通用） 11页

第一单元集合与常用逻辑 命题报告：‎ ‎1.高频考点：集合的运算以及集合的关系，集合新定义问题以及集合与其他知识的交汇，逻辑用语重点考查四种命题的关系，充要条件的判断以及全称命题存在命题等知识。‎ ‎2.考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，考查集合的运算以及充要条件和其它知识的交汇，题目一般属于容易题。‎ ‎3.重点推荐：9题，创新题，注意灵活利用所给新定义进行求解。‎ 一．选择题（共12小题，每一题5分）‎ ‎1．（2018年上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】a∈R，则“a＞1”⇒“＜1”，“ ＜1”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“＜1”的充分非必要条件．故选A．‎ ‎2.(2018年新课标Ⅱ文)已知集合A＝{1,3,5,7},B＝{2,3,4,5},则A∩B＝( )‎ A.{3} B.{ 5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}.‎ ‎3（2018•德州一模）已知命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，命题，则下列命题中的真命题为（　　）‎ A．￢q B．p∧q C．（￢p）∧q D．（￢p）∨（¬q）‎ ‎【答案】B ‎【解析】：命题p：构造函数f（x）=x﹣sinx，x＞0，. ‎ f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，‎ 即f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 又f（0）=0，则f（x）＞0，‎ 即x＞sinx成立，‎ 命题p正确；‎ 命题q：令y1=（）x，y2=logx，‎ 分别画出两个函数的图象可知，‎ 在（0，1）上有一个交点，‎ 即命题q正确；‎ 综上可知p∧q正确，‎ 故选：B．‎ ‎4（2018•和平区三模）“函数f（x）=ln（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”是“a=1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎5（2018•马鞍山三模）命题p：若a＞b，则a﹣1＞b﹣1，则命题p的否命题为（　　）‎ A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a≥b，则a﹣1＜b﹣1‎ C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1‎ ‎【答案】C ‎【解析】：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．‎ ‎∵原命题为“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”‎ ‎∴否命题为：若a≤b，则a﹣1≤b﹣1，故选：C．‎ ‎6. （2018•抚州期末）下列有关命题的说法错误的有（　　）个 ‎①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题 ‎②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0‎ ‎③对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0则：￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】：B ‎【解析】①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题，不正确，因为两个命题中，由一个是假命题，则p∧q为假命题，所以说法错误．‎ ‎②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0，满足逆否命题的定义，正确；‎ ‎③对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0则：￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，符号命题的否定形式，正确；‎ 所以说法错误的是1个．‎ 故选：B．‎ ‎7（2018•金安区校级模拟）若A={x∈ 2≤22﹣x＜8}，B={x∈R log2x＜1}，则A∩（∁RB）中的元素有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】：B ‎【解析】A={x∈ 2≤22﹣x＜8}={x∈ 1≤2﹣x＜3}={x∈ ﹣1＜x≤1}={0，1}，‎ B={x∈R log2x＜1}={x∈R 0＜x＜2}，则∁RB={x∈R x≤0或x≥2}，‎ ‎∴A∩（∁RB）={0}，其中元素有1个．故选：B．‎ ‎8（2018•大观区校级模拟）已知全集U=R，集合，N={ 2﹣2 x ≤0}，则如图中阴影部分所表示的集合为（　　） . ‎ A．[﹣2，1） B．[﹣2，1 C．[﹣2，0）∪（1，2 D．[﹣2，0 ∪[1，2 ‎ ‎【答案】：B ‎【解析】∵全集U=R，集合={ ＞1}，‎ N={ 2﹣2 x ≤0}={x 或}={x ﹣2≤x≤2}，‎ ‎∴CUM={ ≤1}，∴图中阴影部分所表示的集合为N∩（CUM）={x ﹣2≤x≤1}=[﹣2，1 ．‎ 故选：B．‎ ‎9.设集合Sn={1，2，3，…，n}，X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量是奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集，若n=3，则Sn的所有偶子集的容量之和为（　　）‎ A．6 B． 8 C．12 D．16‎ ‎【答案】：D ‎【解析】由题意可知：当n=3时，S3={1，2，3}，‎ 所以所有的偶子集为：∅、{2}、{1，2}、{2，3}、{1，2，3}．‎ 所以S3 的所有偶子集的容量之和为0+2+2+6+6=16．‎ 故选：D．‎ ‎10. （2018•商丘三模）下列有四种说法：‎ ‎①命题：“∃x∈R，x2﹣3x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣3x+1＜0”；‎ ‎②已知p，q为两个命题，若（￢p）∧（￢q）为假命题，则p∨q为真命题；‎ ‎③命题“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题；‎ ‎④数列{an}为等差数列，则“m+n=p+q，m，n，p，q为正整数”是“am+an=ap+aq”的充要条件．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【答案】：C ‎11. （2018•嘉兴模拟）已知函数f（x）=x2+ax+b，集合A={x f（x）≤0}，集合，若A=B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B．[﹣1，5 C． D．[﹣1，3 ‎ ‎【思路分析】由题意可得b=，集合B可化为（x2+ax+）（x2+ax+a+）≤0，运用判别式法，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎12.( 2018•漳州二模）“a≤0”是“关于x的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π，3π 上根的个数相等”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案 ：A ‎【解析】∵方程sinx=0在[﹣3π，3π 上根有7个，则方程ax+axcosx﹣sinx=0也应该有7个根，由方程ax+axcosx﹣sinx=0得ax（1+cosx）﹣sinx=0，‎ 即ax•2cos2﹣2sincos=2cos（axcos﹣sin）=0，‎ 则cos=0或axcos﹣sin=0，则x除了﹣3π，﹣π，π，3π还有三个根，由axcos﹣sin=0，得axcos=sin，即ax=tan，由图象知a≤0时满足条件，且a＞0时，有部分a是满足条件的，故“a≤0”是“关于x的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π，3π 上根的个数相等”的充分不必要条件，故选：A．‎ 二．填空题（共4题，每小题5分） 学 ‎ ‎13. （2018春•南京期末）一个原命题的逆否命题是“若x=1，则x2﹣2x＜0”，那么该原命题是　　命题．（填“真”或“假”）．‎ ‎【答案】真 ‎【解析】：“若x=1，则x2﹣2x=﹣1＜0”，所以“若x=1，则x2﹣2x＜0”，是真命题；‎ 所以逆否命题是“若x=1，则x2﹣2x＜0”，它的原命题也是真命题．‎ 故答案为：真．‎ ‎14 （2018•西宁一模）命题“∃x∈R，x2﹣（m﹣1）x+1＜0”为假命题，则实数m的取值范围为　　．‎ ‎【答案】[﹣1，3 ‎ ‎【解析】：命题“∃x∈R，x2﹣（m﹣1）x+1＜0”为假命题，‎ 可得∀x∈R，x2﹣（m﹣1）x+1≥0恒成立，‎ 即有△=（m﹣1）2﹣4≤0，‎ 解得﹣1≤m≤3，‎ 则实数m的取值范围为[﹣1，3 ．‎ 故答案为：[﹣1，3 ．‎ ‎15.已知命题p：x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p且q为真，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎【答案】：a≥1‎ ‎【解析】命题p：x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，‎ ‎∴△1=4﹣4a≤0，解得a≥1；‎ 命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，‎ ‎∴△2=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1；‎ 若p且q为真，则实数a的取值范围是a≥1．故答案为：a≥1.‎ ‎16. 设集合A={ 2+2x﹣3＞0}，集合B={ 2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎【答案】：[，）‎ ‎【解析】由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）＞0，‎ 解得：x＜﹣3或x＞1，即A={ ＜﹣3或x＞1}，‎ 函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a＞0，f（﹣3）=6a+8＜0，‎ 由对称性可得，要使A∩B恰有一个整数，即这个整数解为2，‎ ‎∴f（2）≤0且f（3）＞0，即，‎ 解得：，即≤a＜，则a的取值范围为[，）．故答案为：[，）‎ 三解答题（本大题共6小题）‎ ‎17. （2018秋•新罗区校级月考）已知函数，记不等式f（x）≤4的解集为M，记函数的定义域为集合N．‎ ‎（Ⅰ）求集合M和N；‎ ‎（Ⅱ）求M∩N和M∪∁RN．‎ ‎【思路分析】（Ⅰ）利用分类讨论法求出f（x）≤4的解集M和g（x）的定义域N；‎ ‎（Ⅱ）根据集合的运算法则求出M∩N和M∪∁RN的值．‎ ‎【解析】：（Ⅰ）函数，‎ 当x≤0时，f（x）=﹣x2﹣4x+1≤4，即x2+4x+3≥0，‎ 解得x≤﹣3或﹣1≤x≤0，‎ 当x＞0时，f（x）=﹣+5≤4，解得0＜x≤1；‎ 综上，不等式f（x）≤4的解集M={ ≤﹣3或﹣1≤x≤1}；‎ ‎∵函数g（x）=的定义域为集合N，‎ ‎∴N={x ﹣2x2+5x+3≥0}={x ﹣≤x≤3}；…………5分 ‎（Ⅱ）由题意知，M∩N={x ﹣≤x≤1}，‎ ‎∁RN={ ＜﹣或x＞3}，‎ ‎∴M∪∁RN={ ≤1或x＞3}．…………10分 ‎18. （2018•铁东区一模）设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题p：∃x∈[1，2 ，满足（a﹣1）x﹣1＞0．‎ ‎（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；‎ ‎（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．‎ ‎【解析】：（1）p真，则或得；‎ q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，‎ ‎∴p∧q真，．…………6分 ‎（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，‎ 若p假q假，则，⇒a≤﹣2，‎ 若p真q真，则，⇒‎ 综上a≤﹣2或．…………12分 ‎19. （2018春•田家庵区校级期中）命题p：∀x∈R，不等式x2+mx+2m﹣3＞0恒成立；q：实数m满足，其中a＞0，‎ ‎（1）当a=1，p且q为真时，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若¬p是q的必要条件，求实数a的取值范围． ‎ ‎【思路分析】当p真时，△=m2﹣4（2m﹣3）＜0，解得2＜m＜6．当q为真时，实数m满足，其中a＞0⇔（m﹣a）（m﹣3a）≤0，m≠a，解得a＜m≤3a．‎ ‎（1）当a=1，p且q为真时，可得1＜m≤3．且2＜m＜6．联立解得m范围．．‎ ‎（2）由¬p是q的必要条件，可得q⇒￢p．于是（a，3a ⊆（﹣∞，2 ∪[6，+∞），又a＞0，解得a范围．‎ ‎【解析】：当p真时，△=m2﹣4（2m﹣3）＜0，解得2＜m＜6．‎ 当q为真时，实数m满足，‎ 其中a＞0，⇔（m﹣a）（m﹣3a）≤0，m≠a，解得a＜m≤3a．…………5分 ‎（1）当a=1，p且q为真时，可得1＜m≤3．且2＜m＜6．联立解得2＜m≤3．‎ ‎（2）∵¬p是q的必要条件，∴q⇒￢p．‎ ‎∴（a，3a ⊆（﹣∞，2 ∪[6，+∞）．‎ ‎∴3a≤2或a≥6，又a＞0，‎ 解得0＜或a≥6．…………12分 ‎20. （2018秋•长汀县校级月考）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两相等实根．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）设命题p：“函数y=2f（x）﹣t在（﹣∞，2）上有零点”，命题q：“函数g（x）=x2+t x﹣2 在（0，+∞）上单调递增”；若命题“p∨q”为真命题，求实数t的取值范围．‎ ‎【思路分析】（1）方程f（x）=2x有两等根，通过△‎ ‎=0，解得b；求出函数图象的对称轴．求解a，然后求解函数的解析式．‎ ‎（2）求出两个命题是真命题时，t的范围，利用p∨q真，转化求解即可．‎ ‎（2），‎ p真则0＜t≤2；‎ ‎；‎ 若q真，则，‎ ‎∴﹣4≤t≤0；‎ 若p∨q真，则﹣4≤t≤2．……………………………………………（12分） , , . ‎ ‎21. （2018春•江阴市校级期中）已知集合A={x ≤0}，B={ 2﹣（m﹣1）x+m﹣2≤0}．‎ ‎（1）若A∪[a，b =[﹣1，4 ，求实数a，b满足的条件；‎ ‎（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．‎ ‎【思路分析】本题涉及知识点：分式不等式和含参的一元二次不等式的解法，集合的并集运算．‎ ‎【解析】：（1）∵A={x ≤0}={x ﹣1≤x＜3}；A∪[a，b =[﹣1，4 ，‎ ‎∴由数形结合知b=4，﹣1≤a＜3…………5分 ‎（2）∵B={ 2﹣（m﹣1）x+m﹣2≤0}={x （x﹣1）（x﹣（m﹣2））≤0}．A∪B=A ‎∴B⊆A,∴分情况讨论①m﹣2＜1，即m＜3时得1≤m＜3；‎ ‎②若m﹣2=1，即m=3，B中只有一个元素1符合题意；‎ ‎③若m﹣3＞1，即m＞4时得3＜m＜5，∴4＜m＜5‎ ‎∴综上1≤m＜5．…………12分 ‎22. （2018•南京期末）已知命题p：指数函数f（x）=（a﹣1）x在定义域上单调递减，命题q：函数g（x）=lg（ax2﹣2x+）的定义域为R．学- ‎ ‎（1）若q是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【思路分析】（1）若命题q是真命题，即函数g（x）=lg（ax2﹣2x+）的定义域为R，对a分类讨论求解；‎ ‎（2）求出p为真命题的a的范围，再由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，可得p与q一真一假，然后利用交、并、补集的混合运算求解．‎ ‎【解析】：（1）若命题q是真命题，则有：‎ ‎①当a=0时，定义域为（﹣∞，0），不合题意．‎ ‎②当a≠0时，由已知可得，解得：a＞，‎ 故所求实数a的取值范围为（，+∞）；…………6分 ‎（2）若命题p为真命题，则0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，‎ 由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，可得p与q一真一假．‎ 若p为真q为假，则，得到1＜a≤，‎ 若p为假q为真，则 ，得到a≥2．‎ 综上所述，a的取值范围是1＜a≤ 或a≥2．………………12分