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- 2024-05-03 发布
成都七中实验学校2016-2017学年下期半期考试
高二年级 数学试题（理）
命题：刘家云 审题：周俊龙
一、选择题（每小题5分，共60分。）
1、在三棱柱中，若，则等于( )
A、 B、 C、 D、
2、函数，则 的值为( )
A、 B、 C、 D、
3、已知表示两条不同直线，表示平面．下列说法正确的是( )
A、若，则 B、若，则
C、若，则 D、若，则
4、函数的单调递减区间是( )
A、 B、 C、 D、
5、在棱长为的正方体中，是底面的中心，分别是
的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于( )
A、 B、 C、 D、
6、已知函数，若，且，
则下列不等式中正确的是( )
A、 B、 C、 D、
7、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，
则正视图中的的值是( )
A、 B、 C、 D、
8、若对任意的，恒有成立，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、甲、乙两人约定在下午间在某地相见，且他们在之间到达的
时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人分钟，若另一人仍不到则可以
离去，则这两人能相见的概率是（ ）
C
A
D
B
A、 B、 C、 D、
10、如图在一个的二面角的棱上有两个点，线段、
分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，
且，则的长为( )
-1
1
x
y
2
0
A、 B、 C、 D、
11、已知函数的图象如图所示，
则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
12、已知曲线在点处的切线与曲线也
相切，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（每小题5分，共20分。）
13、
14、已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是
椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_______
15、已知函数的导函数为，满足，，则
的解集为
16、已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数
1
1
1
A
B
C
D
三、解答题（本大题共6小题，共70分。）
17（10分）如图，在直三棱柱中，，
点是的中点，求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）平面。
18（12分）、某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷
中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供
的数据，解答下列问题：
组号
分组
频数
频率
第1组
[50，60)
5
0.05
第2组
[60，70)
0.35
第3组
[70，80)
30
第4组
[80，90)
20
0.20
第5组
[90，100]
10
0.10
合计
100
1.00
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率。
19（12分）、已知函数。
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围。
20（12分）、在四棱锥中，为正三角形，四边形为矩形，
平面平面，，分别为的中点。
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
21（12分）、已知椭圆经过点，离心率。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值。
22（12分）、已知，。
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：当时，。
成都七中实验学校2016-2017学年下期半期考试
高二年级 数学试题（理）
参考答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1.D； 2.B； 3.B； 4.C； 5.A； 6.C；
7.A； 8.D； 9.B； 10.A； 11. D； 12. C；
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、 14、 15、 16、
三、解答题（共70分）
1
1
1
A
B
C
D
17、证明：（Ⅰ）在直三棱柱中，平面，
所以，，
又，，所以，平面，
所以，. ………..………（5分）
（2）设与的交点为，连结，
为平行四边形，所以为中点，
又是的中点，所以是三角形的中位线，，
又因为平面，平面，所以平面………（10分）
18、（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）
（Ⅱ ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，
所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）
设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，
所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝.……………（12分）
19、（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a＜0时，f′(x)＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；
单调递增区间是(，＋∞). 6分
（Ⅱ ）由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立. 9分
令，则h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)
，所以h(x)在[1,2]上为减函数，
h(x)min＝h(2)＝－， 所以a≤－. 12分
20、（Ⅰ）证明：∵M，N分别是PB，PC中点
∴MN是△ABC的中位线 ∴MN∥BC∥AD
又∵AD⊂平面PAD，MN平面PAD
所以MN∥平面PAD. ………………5分
(Ⅱ)过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0，）,
B（1,0，0），N（,，），则，
设平面CAM法向量为，由 可得
，令，则，即
平面法向量
所以，二面角的余弦值
因为二面角是锐二面角，
所以二面角等于………………12分
21、解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①
②
由①②得，故椭圆的标准方程为……………….5分
......................9分
22（Ⅰ）解：
∴ ………1分
由得；由，得
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，无极大值. ………4分
（Ⅱ）解：
∴
又，易得在上单调递减，在上单调递增，
要使函数在内有两个零点，
需，即，………5分
∴，∴，即的取值范围是. ………8分
（Ⅲ）要证， 即证
由（1）知，当时，且
设， 则
由得；由得
所以在上单调递增，在上单调递减
从而的极大值即最大值为
所以
故当时，………12分