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- 2024-05-02 发布
平遥中学 2016—2017 学年度第二学期高二期中考试
数学试题（理科）
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 命题人：李小丽
本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选
择题）组成
一． 选择题（5×12=60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将
正确选项填在答题卡的相应位置上）
1、设 是虚数单位,复数 的实部与虚部之和为( )
A.0 B.2 C.1 D.-1
2、下面几种推理过程是演绎推理的是( )
(A)某校高三有 8 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班人数都超过 50
人
(B)由三角形的性质,推测空间四面体的性质
(C)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分
(D)在数列 中， ， ，由此归纳出 的通项公式
3、函数 的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
4、若 的展开式中 的系数是 ,则实数的值是( )
A. B. C. D.
5、甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是( )
A.16 B.12 C.8 D.6
6、若函数 是 上的单调函数,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
{ }na 11 =a
+=
−
−
1
1
1
2
1
n
nn aaa { }na
7、将 l,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右、每一列
从上到下分别依次增大,当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法数为
A.4 种 B.6 种 C.9 种 D.12 种
8、学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子,甲:由“若三角形周长为,面积为 ,则
其内切圆半径 ”类比可得“若三棱锥表面积为 ,体积为 ,则其内切球半径
”; 乙 : 由 “ 若 直 角 三 角 形 两 直 角 边 长 分 别 为 、 , 则 其 外 接 圆 半 径
”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为为、 、,则其外
接球半径 ”.这两位同学类比得出的结论( )
A.两人都对 B.甲错、乙对 C.甲对、乙错 D.两人都错
9 、 设 的 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和 为 , 二 项 式 系 数 之 和 为 , 若
,则展开式中 的系数为( )
A.-150 B.150 C.300 D.-300
10、做一个圆柱形锅炉,容积为 ,两个底面的材料每单位面积的价格为元,侧面的材料每单
位面积价格为 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( )
A. B. C. D.
11、从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、
乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有
A.96 种 B.240 种 C.180 D.280 种
12、已知定义在 上的函数 的图象关于点 对称,且当
时, (其中 是 的导函数),若 ,
, ,则, ,的大小关系是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13、给出下列不等式:
………
则按此规律可猜想第 个不等式为
14、已知函数 的导函数 为偶函数，则函数 的增
区间为______________
15、 的展开式中的常数项为 ，则直线 与曲线 围成图形的面积为
_______________
16、曲线 上的点到直线 的最短距离是________
三、解答题(本大题 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17．（本小题 10）已知 是复数, , 均为实数,且复数 在复平面上对应
的点在第四象限.
(1)求复数 (2)试求实数 的取值范围.
18．（本小题 12 分） 已知 在 时取得极值,
且 .
（1）试求常数, ,的值;
( ) ( )Raxaeexf xx ∈−−= − 422 ( )xf ′ ( )xf
3
21
+ xx a axy = 2xy =
（2）试判断 时,函数 取极小值还是极大值,并说明理由
19．（本小题 12 分） 从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4×100 m 接力赛.试求满足下列条
件的参赛方案各有多少种?
(1)甲不能跑第一棒和第四棒;
(2)甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒
20.（本小题 12 分） 已知曲线
（1）求
（2）求在点 处的切线方程
21.（本小题 12 分） 在二项式 的展开式中,前三项的系数成等差数列
（1）求
（2）把展开式中所有的项重新排成一列,求有理项都不相邻的概率
22．（本小题 12 分）
已知函数 .
（1）求函数 的最小值;
（2）设 ,讨论函数 的单调性;
（ 3 ） 若 斜 率 为 的 直 线 与 曲 线 交 于 , 两 点 , 其 中
,求证:
平遥中学 2016—2017 学年度第二学期高二期中考试
数学参考答案与评分标准（理科）
一．选择题
1～5 BCDDA 6～10 CBCBA 11～12 BC
二、填空题
( )0f
n
13、
14、 15、 16、
三、解答题(本大题 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17、（1）5 分 （2）5 分
18、（1）6 分 （2）6 分
（1） ,因为 是函数 的极值点,所以
是方程 的两根,由根与系数的关系,得
又 ,所以 .综上可解得 .
（2）因为 ,所以 ,当
或 时 , , 当 时 , , 所 以 函 数 在
和 上是增函数,在 上是减函数,所以当 时,函数取得
极大值 ,当 时,函数取得极小值
R
19、（1）6 分 （2）6 分
(1)优先考虑特殊元素甲,让其选位置,此时务必注意甲是否参赛,因此需分两类:
第 1 类,甲不参赛有 种排法;
第 2 类,甲参赛,因只有两个位置可供选择,故有 种排法;其余 5 人占 3 个位置有 种排
法,故有 种方案.
所以有 种参赛方案.
(2)优先考虑特殊位置.
第 1 类,乙跑第一棒有 种排法;
第 2 类,乙不跑第一棒有 种排法.
故共有 60+192=252 种参赛方案.
20、（1）5 分 （2）7 分
（1）由题得： ,
, 所以
（2） 因为
即 , 所以 ,
因此所求切线方程为 ,即
21、（1）5 分 （2）7 分
4
5A
1
2A 3
5A
3
5
1
2 AA
2403
5
1
2
4
5 =+ AAA
603
5 =A
1922
4
1
4
1
4 =AAA
（ 1 ） 展 开 式 通 项 为 , 所 以 展 开 式 的 前 三 项 系 数 分 别 为
,因为前三项的系数成等差数列,所以 ,解得
（2）展开式共有 9 项,所以展开式 ,当 的指数为整数时,为有理项,所
以当 时, 的指数为整数即第 1,5,9 项为有理数共有 3 个有理项,所以有理项不相
邻的概率
22、（1）3 分 （2）5 分 （3）4 分
（1） ,令 ,
得 ,当 时, ,
当 时, .
则 在 内递减,在 内递增,
所以 时,函数 取得最小值,
且
（2） , ,
当 时,恒有 , 在区间 内是增函数;
当 时,令 ,即 ,
解得 ,
令 ,即 ,解得 ,
综上,当 时, 在区间 内是增函数,
当 时, 在 内单调递增,在 内单调递减.
（3）证明: ,要证明 ,即证
,等价于 .
令 (由 ,知 ),则只需证 ,由 ,知 ,
故等价于
① 设 , 则 , 所 以 在
内 是 增 函 数 , 当 时 , , 所 以
;
② 设 , 则 所 以 在
内 是 增 函 数 , 所 以 当 时 , , 即
由①②知 成立,所以