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- 2024-05-01 发布
邢台市第八中学2018-2019年度第二学期第一次月考试卷
高二理科数学
时间：120 分钟 分值 150 分
一、选择题
1设在处可导,且,则( )
A.
B.
C.
D.
2.如果质点的运动方程为,则它在时的瞬时速度为( )
A.
B.
C.
D.
3.设函数,若,则等于( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
4.过曲线上一点的切线的斜率为,则点的坐标为( )
A.
B. 或
C.
D.
5.曲线在处的切线的倾斜角是( )
A.0° B.45° C.135° D.60°
6.如果函数在上单调递增,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数的图象如图所示,则下列判断正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.函数在区间上的极大值为( )
A.
B.
C.
D.
9.函数上的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
10.等于( )
A.
B.
C.
D.
11.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
12.如果函数的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
①函数在区间内单调递增;
②函数在区间内单调递减;
③函数在区间内单调递增;
④当时,函数有极小值;
⑤当时,函数有极大值.
则上述判断中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④⑤ D.③
二、填空题
13.如图,函数的图象在点处的切线方程是,则=__________.
14.如图,在边长为 (为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.
15.函数的值域为________.
16若点是曲线上任意一点,则点到直线的最小距离为 .
三、解答题
17.求下列函数的导数
1.
2.
3.
4.
18.已知函数.
1.当时,求曲线在点处的切线方程;
2.求函数的极值.
19.已知函数
1.当 时, 取得极值,求 的值
2.求在 上的最小值
20.已知.
1.求的单调区间;
2.求函数在上的最值.
21.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告宣传,经调查,每投入广告费 (百万元)可增加的销售额约为 (百万元) .
1.若该公司将当年的广告宣传费控制在万元之内,则应投入多少广告费才能使公司由此获得的收益最大?
2.现该公司准备投入万元,分别用于广告宣传和技术改造,经预测,每投入技术改造费 (百万元)可增加的销售额约为 (百万元),请设计资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.(注:收益=销售额—投入)
22.已知函数
1.求函数在点处的切线方程
2.设实数使得恒成立,求的范围
3.设函数,求函数在区间上的零点个数
邢台市第八中学2018-2019年度第二学期第一次月考试卷
高二理科数学答案
一、选择题
答案： D
解： ∵,
∴,
∴,
∴,故选D.
2.答案：D
解：
的瞬时速度就是附近的平均速度当时间变化量趋近于0的极限.选D.
3.答案：C
解：
∵
.
∵,∴.故选C.
4.答案：B
解：由,得则点的坐标为或
5.答案：B
解：∵,∴,∴,∴.故选B.
6.答案：B
解：∵在上单调递增, 在上恒非负解得.
7.答案：D
解：因为时, 恒成立,所以;的两个根、均小于零,所以,则;,则,所以同为正.故选D.
8.答案：B
解：函数的定义域为,.令,得.当时, ,当时, ,故在处取得极大值.
9.答案：A
解：,令,
则 (舍去)或,,,
,∴在上的最大值为.
10.答案：C
解：
11.答案:
解:依题意得,因此切线方程是,即,在坐标平面内画出直线 ,与，与的交点坐标是,与轴的交点坐标是,因此结合图形可知,所求的三角形的面积等于,故选.
12.答案：D
解：当时, ,单调递减,①错;当时, ,单调递增,当时, ,单调递减,②错;当时,函数有极大值,④错;当时,函数无极值,⑤错.故选D.
二、填空题
13.答案：-3
解：由图可知点为切点,则,,又,得
14.答案：
解：∵与互为反函数,故直线两侧的阴影部分面积相等,
∴,
又∵,∴.
15.答案：
解：
,所以在上恒成立,即在上单调递增,所以的最大值是,最小值是.故函数的值域为.
答案：
解： 点是曲线上任意一点,
当过点的切线和直线平行时,
点到直线的距离最小.
直线的斜率等于,
令的导数
,,或(舍去),
故曲线上和直线平行的切线经过的切点坐标,
点到直线的距离等于。
故点到直线的最小距离为.
三、解答题
17.答案：1.
2.
3.∵,
∴
4. ∵,
∴.
解：
18.答案：1.函数的定义域为,
当时, ,
∴
∴在点处的切线方程为,
即
2.由,可知:
①当时, ,
函数上的增函数,函数无极值;
②当时,由,解得,
∵时, ,时,
∴在处取得极小值,
且极小值为,无极大值.
综上:当时,函数无极值.
当时,函数在处取得极小值,无极大值.
解：1.先求时的导函数,然后求出时的导函数即该点处的切线斜率,然后由点斜式求出切线方程.
2.求出导函数,因为含有参数,所以结合导函数的零点与定义域区间端点的位置关系进行分类讨论,从而得出函数的单调性,并由极值点的定义判断出函数的极值.
19.答案：1.因为 ,所以 ,由已知得,解得
2.因为,
当 时, ,则 在 上为增函数,所以最小值;
当 时, ,令 且 得 的增区间为,
令 且 得 的减区间为 ,所以 (最小值)
当 时,则 ,所以 在区间 上为减函数,所以 (最小值)
解：
20.答案：1. .
,由,即,得或;由,即,得,∴的单调递增区间为和,单调递减区间为.
2.由1知在上递减,在上递增.∵,,
,∴在上的最大值为,最小值为.
解：
21.答案：1.设通过广告费获得的收益为百万元,则
则当,
因此投入广告费200万元时其收益最大.
2.设用技术改造的资金为 (百万元),则用于广告促销的资金为 (百万元),则增加的收益为,所以.
令,解得,或 (舍去).
又当时,当,故在上是增函数,在上是减函数.
所以当时, 取最大值,即将200万元用于技术改造,100万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大.
解：
22.答案：1.
2.因为,所以恒成立等价于恒成立,
令,再求函数的最大值,得的范围是;
3.由,得,即,,
研究函数,的最大值,,
所以,当或者时,有个零点;
当或者时,有个零点;
当时,有个零点;
解：