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- 2024-04-28 发布
1.1.3充分条件与必要条件（学案）
一、 知识梳理
1．推断符号“”的含义：
一般地,如果“若,则”为真, 即如果成立，那么一定成立,记作:“”;
如果“若,则”为假, 即如果成立，那么不一定成立,记作:“”.
用推断符号“和”写出下列命题：⑴若，则；
⑵若，则；
2．充分条件与必要条件
一般地，如果，那么称p是q的；同时称q是p的
充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若
p则q”为真（即）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．
必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即）的形式．“有之未
必成立，无之必不成立”．
3．充要条件的定义：
若 ，且 即，就说p是q的充要条件;概括地说，如果，那么p与q互为充要条件。
命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
（1）充分必要条件（简称充要条件），即且；
（2）充分不必要条件，即且；
（3）必要不充分条件，即且；
（4）既不充分又不必要条件，即且．
二、典例解析
类型一、充分条件、必要条件、充要条件的判断
例一 (1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sin B”的( )
A． 充分必要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
(2)“M>N”是“M>N”成立的________条件．(从“充分”“必要”中选择一个正确的填写)
(3)已知命题“若p：m<－1，则q：－x－m>0对x∈R恒成立”，试判断p是q的________，q是p的________(填“充分条件”或“必要条件”)．
类型二、充分条件、必要条件、充要条件的应用
例二 已知p：－2≤x≤10，q：－2x＋1－≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
变式训练
本例中，把“充分不必要”改为“必要不充分”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
类型三、 充要条件的证明
例三 已知数列{}的前n项和＝＋q(p≠0且p≠1)．求证：{}为等比数列的充要条件是q＝－1.
变式训练
已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.