2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 8页

‎2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，若复数（是虚数单位）的实部为，则的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎2.函数的图象在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是（ ）‎ A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于 ‎ C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于 ‎4.已知为虚数单位，若复数（）的模为该复数的实数的倍，则（ ）‎ A．0 B．-4 C. 1或-1 D．1‎ ‎5.由抛物线和直线所围成的封闭图形的面积等于（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎6.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点（ ）‎ A．1个 B．2个 C.3个 D．4个 ‎7.（选修4-4：参数方程选讲）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以射线为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是 ‎，则直线与曲线相交所得的弦的长为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎（选修4-5：不等式选讲）已知不等式对任意正实数恒成立，则的最小值为（ ）‎ A．8 B．6 C.4 D．2‎ ‎8.郑州市了为缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行，某公司有五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶，已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（ ）‎ A．今天是周六 B．今天是周四 C. 车周三限行 D．车周五限行 ‎9.若函数在单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若函数在内有极小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.给出下面类比推理（其中为有理数集，为实数集，为复数集）：‎ ‎①“若，则”类比推出“，则”‎ ‎②“若，则复数”类比推出“，则”；‎ ‎③“，则”类比推出“若，则”；‎ ‎④“若，则”类比推出“若，则”‎ 其中类比结论正确的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ ‎12.对于函数和，设，，若存在使得 ‎，则称和互为“友邻函数”，若函数与互为“友邻函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.一质点沿直线运动，如果由始点起经过秒后的位移为，那么这个质点在2秒末的瞬时速度是 ．‎ ‎14.有一个奇数列……，现在进行如下分组：第一组含一个数，第二组合含两个数；第三组含三个数；第四组含四个数……；则观察每组内各数之和与组的编号数的关系式为 ．‎ ‎15.（选修4-4：参数方程选讲）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，则在直角坐标系下曲线的方程为 ．‎ ‎（选修4-5：不等式选讲）若则的最小值为 ．‎ ‎16.定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （1）设（是虚数单位），求的值.‎ ‎（2）设，复数，且满足，试求的值.‎ ‎18. 求由曲线，，所围成的封闭图形的面积.‎ ‎19. 已知，，‎ ‎（1）当时，试比较与的大小关系；‎ ‎（2）猜想与的大小关系，并给出证明.‎ ‎20. 设函数，.‎ ‎（1）若关于的方程有3个不同实根，求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21. 已知函数（）.‎ ‎（1）当时，求的单调区间和极值；‎ ‎（2）若，且，证明：‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，求的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知不等式.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若已知不等式的解集不是空集，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CCBAB 6-10: ACBCD 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 0 14. 15. （选修4-4） ；（选修4-5） ‎ ‎16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）‎ ‎（2）将代入，得 ‎∴，∴‎ ‎18.解：‎ ‎19.解：（1）当时，，，所以；‎ 当时，，，所以；‎ 当时，，，所以 ‎（2）由（1）猜想，下面用数学归纳法给出证明.‎ ‎①当时，不等式显然成立.‎ ‎②假设当时不等式成立.‎ 即 那么，当时，‎ 因为 所以 由①②可知，对一切，都有成立.‎ ‎20.解：（1），令，得，‎ ‎∴当或时，；当时，，‎ ‎∴的单调递增区间是和，单调递减区间是 当，有极大值；‎ 当，有极小值.‎ 可知图象的大致形状及走向 ‎∴当时，直线与的图象有3个不同交点，‎ 即当时方程有三解.‎ ‎（2）即 ‎∵，∴在上恒成立.‎ 令，由二次函数的性质，在上是增函数，‎ ‎ ∴，∴所求的取值范围是 ‎21.解：（1），‎ ‎①时，因为，所以 函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；‎ ‎②当时，令，解得，‎ 当时，；当，.‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，‎ 在区间上的极小值为，无极大值.‎ ‎（2）因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，‎ 在区间上单调递增，‎ 不妨设，则，‎ 要证，只要证，即证 因为在区间上单调递增，所以，‎ 又，即证，‎ 构造函数，‎ 即，.‎ ‎，‎ 因为，所以，，即，‎ 所以函数在区间上单调递增，故，‎ 而，故，‎ 所以，即，所以成立.‎ ‎22.解：（1）由得，‎ 化为直角坐标方程为，即 所以圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，‎ 由已知得，所以可设是上述方程的两根，‎ 则，‎ ‎.‎ 所以的最小值为.‎ ‎23.解：（1）当时，不等式即为，‎ 若，则，，∴舍去；‎ 若，则，∴；‎ 若，则，∴‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）设，‎ 则 作出函数的图象，如图所示：‎ 由图象可知，‎ ‎∴，，即的取值范围为 ‎ ‎