数学文卷·2019届重庆市万州分水中学高二11月月（2017-11） 16页

重庆市万州分水中学校 2017-2018 学年度 11 月月考 数学（文）试卷 考试范围：必修 2；考试时间：120 分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.直线 x﹣y﹣1=0 不通过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.直线 x+ y﹣1=0 的倾斜角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3.直线λ：2x﹣y+3=0 与圆 C：x2+（y﹣1）2=5 的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 4.设 l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若 l∥α，l∥β，则α∥β B．若 l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若 l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β 5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） A． B．1cm3 C． D．3cm3 6.直线 x+y+1=0 被圆 x2+y2=1 所截得的弦长为( ) A． 1 2 B．1 C． 2 2 D． 7. 已知直线 l 的斜率 ，则直线倾斜角的范围为（ ） A． B． C． D． 8.长方体的三个相邻面的面积分别是 2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上， 则这个球的表面积为（ ） A． B．56π C．14π D．16π 9.圆 O1：x2+y2﹣2x=0 和圆 O2：x2+y2﹣4y=0 的公共弦长为（ ） A． B． C．3 D． 10.若圆 2 2 2 6 6 0x y x y     有且仅有三个点到直线 1 0x ay   的距离为1，则实 数a 的值为（ ） A. 1 B. 2 4  C. 2 D. 3 2  11.曲线 y= +1（﹣2≤x≤2）与直线 y=kx﹣2k+4 有两个不同的交点时实数 k 的范 围是( ) A．（ 5 12 ， 3 4 ] B．（ 5 12 ，+∞） C．（ 1 3 ， 3 4 ） D．（﹣∞， 5 12 ）∪（ 3 4 ，+∞） 12.已知侧棱长为 2a 的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为 9a，则棱锥的高为 （ ） A．a B．2a C． a D． a 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.不论 a 为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0 恒过定点 ． 14.已知正△ABC 的边长为 1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积 为 ． 15. 求经过三点 A（0，3）、B（4，0），C（0，0）的圆的方程 16.如果实数 x，y 满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么 3 1 y x   的取值范围是 ． 三、解答题（本题共 6 道小题,第 17 题 10 分，18-22，每题 12 分） 17.已知直线 l1：3x+4y﹣2=0 和 l2：2x﹣5y+14=0 的相交于点 P．求： （Ⅰ）过点 P 且平行于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程； （Ⅱ）过点 P 且垂直于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程． 18. 已知圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4． （1）求直线 2x﹣y+4=0 被圆 C 所截得的弦长； （2）求过点 M（3，1）的圆 C 的切线方程． 19.如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC，∠ACB=90°，E 是棱 CC1 上中点，F 是 AB 中点，AC=1，BC=2，AA1=4． （1）求证：CF∥平面 AEB1； （2）求三棱锥 C﹣AB1E 的体积． 20.如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，点 M，N 分 别为 线段 PB，PC 上的点，MN⊥PB． （Ⅰ）求证：平面 PBC⊥平面 PAB； （Ⅱ）求证：当点 M 不与点 P，B 重合时，MN∥平面 ABCD； （Ⅲ）当 AB=3，PA=4 时，求点 A 到直线 MN 距离的最小值． 21.如图，已知圆 C 的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线 l 的方程为：x+2y﹣3=0． （1）求 m 的取值范围； （2）若圆与直线 l 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数 m 的值． 22.已知以点 C 2,t t     (t R ，t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A，与 y 轴交于点 O、B， 其中 O 为原点． (1) 求证：△AOB 的面积为定值； (2) 设直线 2x＋y－4＝0 与圆 C 交于点 M、N，若|OM|＝|ON|，求圆 C 的方程； (3) 在(2)的条件下，设 P、Q 分别是直线 l：x＋y＋2＝0 和圆 C 的动点，求|PB|＋|PQ| 的最小值及此时点 P 的坐标． y Q O x P 试卷答案 1.B 【考点】确定直线位置的几何要素． 【专题】直线与圆． 【分析】把直线的方程化为斜截式，可得直线的倾斜角为 90°，在 y 轴上的截距等于﹣1， 故直线经过第一、三、四象限． 【解答】解：直线 x﹣y﹣1=0 即 y=x﹣1，它的斜率等于 1，倾斜角为 90°，在 y 轴上的截 距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选 B． 【点评】本题主要考查直线的斜截式方程，确定直线位置的几何要素，属于基础题． 2.D 【考点】直线的倾斜角． 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【解答】解：设直线 x+ y﹣1=0 的倾斜角为α． 直线 x+ y﹣1=0 化为 ． ∴tanα=﹣ ． ∵α∈[0°，180°）， ∴α=150°． 故选：D． 3.A 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】求出圆心到直线的距离，与圆半径相比较，能求出结果． 【解答】解：圆 C：x2+（y﹣1）2=5 的圆心 C（0，1），半径 r= ， 圆心 C（0，1）到直线λ：2x﹣y+3=0 的距离： d= = ＜r= ， ∴直线λ：2x﹣y+3=0 与圆 C：x2+（y﹣1）2=5 相交． 故选：A． 4.B 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平 面之间的位置关系． 【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断 A； 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断 B； 根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断 C； 根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断 D． 【解答】解：若 l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与 l 平行，故 A 错误； 若 l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得 B 正确； 若 l⊥α，l∥β，则存在直线 m ⊂ β，使 l∥m，则 m⊥α，故此时α⊥β，故 C 错误； 若α⊥β，l∥α，则 l 与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故 D 错误； 故选 B 5.A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知：该几何体为一个倒立的四棱锥，底面是一个直角梯形，上底 AB=1， 下底 CD=2，AD⊥AB，AD=1，侧面 PCD⊥底面 ABCD，PC=PD．取 CD 的中点 O，连接 PO，则 PO ⊥CD，PO=1．即可得出． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个倒立的四棱锥，底面是一个直角梯形，上底 AB=1，下底 CD=2，AD⊥AB， AD=1，侧面 PCD⊥底面 ABCD，PC=PD． 取 CD 的中点 O，连接 PO，则 PO⊥CD，PO=1． ∴该几何体的体积 V= = cm3． 故选：A． 6.D 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆． 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d，即可求出弦长为 2 ，运算求得结果． 【解答】解：圆 x2+y2=1 的圆心 O（0，0），半径等于 1，圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= ， 故直线 x+y+1=0 被圆 x2+y2=1 所截得的弦长为 2 = ， 故选 D． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于 中档题． 7. 已知直线 l 的斜率 ，则直线倾斜角的范围为（ ） A． B ． C． D． 【考点】直线的倾斜角． 【 分 析 】 设 直 线 倾 斜 角 为 θ ， 由 直 线 l 的 斜 率 ， 肯 定 ，即可得出． 【解答】解：设直线倾斜角为θ，∵直线 l 的斜率 ， ∴ ， ∴θ ∈ ∪ ． 故选：B． 8.C 【考点】球的体积和表面积． 【分析】根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长 方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球 的表面积． 【解答】解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是 2，3，6， ∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，2，1， 又因为长方体的 8 个顶点都在同一个球面上， 所以长方体的对角线就是圆的直径， 因为长方体的体对角线的长是： 球的半径是： 这个球的表面积：4 =14π 故选 C． 9.B 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】由条件求得公共弦所在的直线方程、一个圆的圆心到公共弦的距离，再利用垂径定 理求得公共弦的长． 【解答】解：圆 O1 的圆心为（1，0），半径 r1=1，圆 O2 的圆心为（0，2），半径 r2=2， 故两圆的圆心距 ，大于半径之差而小于半径之和，故两圆相交． 圆 和圆 两式相减得到相交弦所在直线方程 x﹣ 2y=0， 圆心O1（1，0）到直线x﹣2y=0距离为 ，由垂径定理可得公共弦长为2 = ， 故选：B． 10. B 11.A 【考点】直线与圆相交的性质． 【专题】直线与圆． 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象 进行研究即可． 【解答】解：由 y=k（x﹣2）+4 知直线 l 过定点（2，4），将 y=1+ ，两边平方得 x2+ （y﹣1）2=4， 则曲线是以（0，1）为圆心，2 为半径，且位于直线 y=1 上方的半圆． 当直线 l 过点（﹣2，1）时，直线 l 与曲线有两个不同的交点， 此时 1=﹣2k+4﹣2k， 解得 k= ， 当直线 l 与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心（0，1）到直线 kx﹣y+4﹣2k=0 的距离 d= ， 解得 k= ， 要使直线 l：y=kx+4﹣2k 与曲线 y=1+ 有两个交点时， 则直线 l 夹在两条直线之间， 因此 ＜k≤ ， 故选：A． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查 学生的计算能力． 12.A 【考点】棱锥的结构特征． 【分析】根据正三棱锥的结构特征，先求出底面中心到顶点的距离，再利用测棱长求高． 【解答】解：如图示： ∵正三棱锥底面周长为 9a，∴底面边长为 3a， ∵正棱锥的顶点在底面上的射影为底面的中心 O， ∴OA= AD= ×3a× = a， 在 Rt△POA 中，高 PO= = =a， 故选：A． 13.（﹣2，1） 【考点】恒过定点的直线． 【分析】由直线系的知识化方程为（x+2y）a+3x﹣y+7=0，解方程组 可得答案． 【解答】解：直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0 可化为（x+2y）a+3x﹣y+7=0， 由交点直线系可知上述直线过直线 x+2y=0 和 3x﹣y+7=0 的交点， 解方程组 可得 ∴不论 a 为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0 恒过定点（﹣2，1） 故答案为：（﹣2，1） 14. 【考点】斜二测法画直观图． 【专题】数形结合；定义法；空间位置关系与距离． 【分析】由直观图和原图的面积之间的关系，直接求解即可． 【解答】解：正三角形的高 OA= ，底 BC=1， 在斜二侧画法中，B′C′=BC=1，0′A′= = ， 则△A′B′C′的高 A′D′=0′A′sin45°= × = ， 则△A′B′C′的面积为 S= ×1× = ， 故答案为： ． 【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查 15. （x﹣2）2+（y﹣1.5）2=6.25． 16【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】设 k= ，则 y=kx﹣（k+3）表示经过点 P（1，﹣3）的直线，k 为直线的斜率， 所以求 的取值范围就等价于求同时经过点 P（1，﹣3）和圆上的点的直线中斜率的最 大最小值，当过 P 直线与圆相切时，如图所示，直线 PA 与直线 PB 与圆相切，此时直线 PB 斜率不存在，利用点到直线的距离公式表示出圆心 C 到直线 PA 的距离 d，令 d=r 求出此时 k 的值，确定出 t 的范围，即为所求式子的范围． 【解答】解：设 k= ，则 y=kx﹣（k+3）表示经过点 P（1，﹣3）的直线，k 为直线的 斜率， ∴求 的取值范围就等价于求同时经过点 P（1，﹣3）和圆上的点的直线中斜率的最大 最小值， 从图中可知，当过 P 的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为 kPB 和 kPA， 其中 kPB 不存在， 由圆心 C（2，0）到直线 y=kx﹣（k+3）的距离 =r=1， 解得：k= ， 则 的取值范围是[ ，+∞）． 故答案为：[ ，+∞） 17. 【考点】直线的点斜式方程． 【专题】计算题． 【分析】（Ⅰ）联立两直线的方程即可求出交点 P 的坐标，求出直线 2x﹣y+7=0 的斜率为 2， 所求直线与直线 2x﹣y+7=0 平行得到斜率相等都为 2，根据 P 的坐标和斜率 2 写出直线方程 即可； （Ⅱ）根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1 求出所求直线的斜率，根据 P 和斜率写出直线方程 即可． 【解答】解：由 解得 ，即点 P 坐标为 P（﹣2，2），直线 2x﹣y+7=0 的斜率为 2 （Ⅰ）过点 P 且平行于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程为 y﹣2=2（x+2）即 2x﹣y+6=0； （Ⅱ）过点 P 且垂直于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程为 即 x+2y﹣2=0． 【点评】此题考查学生会利用两直线的方程求两直线的交点坐标，掌握两直线平行及垂直时 斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道综合题． 18. 【考点】直线与圆相交的性质． 【专题】综合题；直线与圆． 【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于 半径列方程求系数即可； （2）可先利用 PM（PM 可用 P 点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出 P 点的轨迹（求出 后是一条直线），然后再将求 PM 的最小值转化为求直线上的点到原点的距离 PO 之最小值． 【解答】解：（ 1）将圆 C 配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2． ①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 y=kx，由直线与圆相切得 = ，即 k=2± ， 从而切线方程为 y=（2± ）x．… ②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为 x+y﹣a=0， 由直线与圆相切得 x+y+1=0，或 x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为 y=（2± ）x x+y+1=0 或 x+y﹣3=0．… （2）由|PO|=|PM|得，x1 2+y1 2=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..… 即点 P 在直线 l：2x﹣4y+3=0 上，|PM|取最小值时即 |OP|取得最小值，直线 OP⊥l，∴直线 OP 的方程为 2x+y=0．… 解方程组 得 P 点坐标为（﹣ ， ）．… 【点评】本题重点考查了直线与圆的位置关系，切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线 长、半径满足勾股定理列方程；弦长问题一般会利用垂径定理求解． 19. 【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（1）取 AB1 的中点 G，联结 EG，FG，由已知条件推导出四边形 FGEC 是平行四边形， 由此能证明 CF∥平面 AB1E． （2）由 = ，利用等积法能求出三棱锥 C﹣AB1E 的体积． 【解答】（1）证明：取 AB1 的中点 G，联结 EG，FG ∵F，G 分别是棱 AB、AB1 的中点， ∴ 又∵ ∴四边形 FGEC 是平行四边形， ∴CF∥EG， ∵CF 不包含于平面 AB1E，EG⊂平面 AB1E， ∴CF∥平面 AB1E． （2）解：∵AA1⊥底面 ABC，∴CC1⊥底面 ABC，∴CC1⊥CB， 又∠ACB=90°，∴BC⊥AC， ∴BC⊥平面 ACC1A1，即 BC⊥面 ACE， ∴点 B 到平面 AEB1 的距离为 BC=2， 又∵BB1∥平面 ACE，∴B1 到平面 ACE 的距离等于点 B 到平面 ACE 的距离，即为 2， ∴ = = = ． 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题， 注意空间思维能力的培养． 20. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）设 O 为 AC 的中点，连接 OS，OD，推导出 OS⊥AC，DO⊥AC，从而 AC⊥平面 SOD， 由此能证明 AC⊥SD． （Ⅱ）三棱锥 B﹣SAD 的体积 VB﹣SAD=VS﹣BAD，由此能求出结果． 【解答】证明：（Ⅰ）设 O 为 AC 的中点，连接 OS，OD， ∵SA=SC，∴OS⊥AC， ∵DA=DC，∴DO⊥AC， 又 OS，OD ⊂ 平面 SOD，且 OS∩DO=O，AC⊥平面 SOD， 又 SD ⊂ 平面 SOD，∴AC⊥SD．… 解：（Ⅱ）∵O 为 AC 的中点，在直角△ADC 中，DA2+DC2=2=AC2， 则 ， 在△ASC 中，∵ ，O 为 AC 的中点， ∴△ASC 为正三角形，且 ， ∵在△SOD 中，OS2+OD2=SD2，∴△SOD 为直角三角形，且∠SOD=90°， ∴SO⊥OD，又 OS⊥AC，且 AC∩DO=O， ∴SO⊥平面 ABCD．… ∴三棱锥 B﹣SAD 的体积： VB﹣SAD=VS﹣BAD= = = = ．… 21. 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程： ，若为圆，须有 ，解出即可； （2）设点 P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得 OP、OQ 所在直线互相垂直，即 kOP•kOQ=﹣1，亦 即 x1x2+y1y2=0，根据 P、Q 在直线 l 上可变为关于 y1、y2 的表达式，联立直线方程、圆的方 程，消掉 x 后得关于 y 的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得 m 的方程，解出即可； 【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程为： ， 依题意得： ，即 m＜ ， 故 m 的取值范围为（﹣∞， ）； （2）设点 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由题意得：OP、OQ 所在直线互相垂直，则 kOP•kOQ=﹣1，即 ， 所以 x1x2+y1y2=0， 又因为 x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2， 所以（3﹣2y1）（3﹣2y2）+y1y2=0，即 5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①， 将直线 l 的方程：x=3﹣2y 代入圆的方程得：5y2﹣20y+12+m=0， 所以 y1+y2=4， ， 代入①式得： ，解得 m=3， 故实数 m 的值为 3． 22. (1)证明 由题设知，圆 C 的方程为 (2)解 ∵|OM|＝|ON|，则原点 O 在 MN 的中垂线上，设 MN 的中点为 H，则 CH⊥MN， ∴C、H、O 三点共线，则直线 OC 的斜率 ∴t＝2 或 t＝－2. ………………………………………5 ∴圆心为 C(2,1)或 C(－2，－1)， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5 或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5， 由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 时，圆心到直线 2x＋y－4＝0 的距离 d＞r，此时不满 足直线与圆相交，故舍去， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. ………………………………………6 (3)解 点 B(0,2)关于直线 x＋y＋2＝0 的对称点为  4, 2B   ，………………7 则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，………………………………………8