2017-2018学年四川省乐山市高二上学期期末数学理试题（解析版） 13页

‎2017-2018学年四川省乐山市高二上学期期末数学理试题（解析版）‎ 第一部分（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设命题，，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即：‎ 故选 ‎2. 将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面的投影与右侧面的两边重合，另一条为体对角线，它在右侧面的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有符合 故选 ‎3. 已知椭圆的左焦点为，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的左焦点为 ‎，‎ 故选 ‎4. 一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积为（ ）‎ A. 1 B. ‎ C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，‎ 还原回原图形后，‎ 原图形的面积为 故选 ‎5. “且”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若方程表示双曲线，‎ 则，解得 则当时推出“且” 是“方程表示双曲线”‎ 反之则推不出 故“且” 是“方程表示双曲线”的必要不充分条件 故选 ‎6. 若抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】的上焦点坐标为 抛物线的准线方程为 故选 ‎7. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，，则有（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，若，则．该命题是两个平面垂直的判定定理，显然成立．故选A．两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面，故答案B错误．依次判断答案C、D也是错误的．‎ 考点：有关平面与平面、直线与平面的命题判断．‎ ‎8. 已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，焦点在轴上，则 由椭圆定义：，‎ ‎，可得，‎ 由，故为直角三角形 的面积为 故选 ‎9. 已知直三棱柱中，，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】找出的中点，由于，‎ 过点作于点 直三棱柱中，‎ 平面，‎ 平面，则点是点在平面的投影 故是与平面的夹角 设，‎ 在中，求得，‎ 在中，求得 则 故选 ‎10. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上异于的另外一点，且是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，而 可以解三角形求得 由双曲线焦半径公式知：‎ 两式相减，‎ 离心率 ‎11. 在三棱锥中，平面，，为侧棱上的一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 平面且三棱锥的体积为 B. 平面且三棱锥的体积为 C. 平面且三棱锥的体积为 D. 平面且三棱锥的体积为 ‎【答案】C ‎【解析】平面，，‎ 又，‎ 平面，‎ 又由三视图可得在中，，为的中点，‎ ‎，平面 又，，平面 故 故选 点睛：本题主要考查的知识点是直线与平面垂直的判定，几何体的体积的求法。考查了命题的真假的判断与应用。通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可证明直线与平面垂直，求出几何体的体积即可。‎ ‎12. 椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的方程可得，‎ 由椭圆的性质可知：‎ ‎，则 故选 点睛：本题主要考查的知识点是椭圆的简单性质以及直线的斜率问题。由椭圆的方程可得，，然后利用椭圆的性质可得，再利用已知给出的的范围即可求出答案。‎ 第二部分（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.‎ ‎13. 抛物线的焦点坐标是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线方程化为标准方程为：‎ ‎，‎ 抛物线开口向下 则抛物线的焦点坐标是 ‎14. 已知为双曲线的左焦点，为上的点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】由双曲线方程得，则虚轴长为12，线段过点为双曲线的右焦点，，,的周长为 ‎15. 已知三点在球心为，半径为的球面上，，，则球心到平面的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，，则外接圆的直径，，则球心到平面的距离为 点睛：本题主要考查了点，线，面间的距离计算，以及球面距离及相关计算，主要考查了学生的计算能力，属于中档题。运用正弦定理先计算出三角形外接圆的半径，再利用勾股定理计算得出球心到面的距离 ‎16. 如图，在梯形中，，，，分别是的中点，将四边形沿直线进行翻折.给出四个结论：①；②；③平面平面；④平面平面.在翻折过程中，可能成立的结论序号是__________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】作出翻折后的大致图形，如图所示 对于①，，与相交，但不垂直，与不垂直，故错误；‎ 对于②，设点在平面上的射影为点，则翻折过程中，点所在的直线平行于，当时，有，而可使条件满足，故正确；‎ 对于③，当点落在上时，平面，平面平面，故正确；‎ 对于④，点的射线不可能在上，④不成立，故错误；‎ 综上所述，可能成立的结论序号是②③‎ 点睛：本题是一道关于线线垂直，面面垂直的判定的题目。首先根据题目条件，作出翻折后的大致图形，然后利用空间中线线，线面，面面间的位置关系，逐个分析给出的四个结论，即可得到答案。‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 如图所示，在正方体中，分别是的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成的角的大小；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：⑴连结，证出是与所成的角，连结，证得为等边三角形，即可得到答案 ‎⑵连结，推出，，由此证得 ‎（2）证明：连结，易知，又面，即，‎ ‎∴面，则，得证.‎ ‎18. 已知双曲线的方程是.‎ ‎（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；‎ ‎（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.‎ ‎【答案】（1）焦点坐标，，离心率，渐近线方程为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：⑴将双曲线转化为标准形式，得到，，的值，即可得到双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；‎ ‎⑵先根据双曲线的定义得到，再由余弦定理得到的值，进而可得到的大小 解析：（1）解：由得，所以，，，‎ 所以焦点坐标，，离心率，渐近线方程为.‎ ‎（2）解：由双曲线的定义可知，‎ ‎∴‎ ‎ ，则.‎ ‎19. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）到平面的距离为.‎ ‎【解析】试题分析：⑴设与的交点为，连接，通过直线与平面平行的判定定理证明平面；⑵通过，，三棱锥的体积，求出，作交于，说明是到平面的距离，通过解三角形求解即可 解析：（1）证明：设与的交点为，连接.‎ 因为为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以.‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）解：.由，可得.‎ 作交于.由题设知，，且，所以平面，‎ 又平面，所以，又，做平面.‎ ‎∵平面，∴，在中，由勾股定理可得，‎ 所以，所以到平面的距离为.‎ 点睛：本题主要考查了立体几何及其运算，对于⑴，运用一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于该平面，即可证得；对于⑵，运用一条直线垂直于面上两条相交直线，那么这条直线垂直于该平面以及三角形面积公式即可求得。‎ ‎20. 已知抛物线的焦点为，抛物线与直线的一个交点的横坐标为4.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）不过原点的直线与垂直，且与抛物线交于不同的两点，若线段的中点为，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）抛物线方程为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：⑴求出直线与抛物线的交点坐标为，即可求得抛物线的方程；⑵设直线，，代入抛物线方程，利用根的判别式得到的取值范围，然后利用韦达定理，结合，求出的值，从而求得的面积 解析：（1）解：易知直线与抛物线的交点坐标为，‎ ‎∴，∴，∴抛物线方程为.‎ ‎（2）解：直线与垂直，故可设直线，，，且直线与轴的交点为.由得，，∴.‎ ‎，，∴.‎ 由题意可知，即，∴或（舍），‎ ‎∴直线，.‎ 故 .‎ 点睛：本题是一道关于求抛物线方程的题目，考查了直线与圆锥曲线的关系以及抛物线的简单性质，根的判别式，韦达定理以及三角形面积公式的知识点。解题的关键在于掌握直线与抛物线相交问题的解法。属于中档题。‎ ‎21. 如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证线面垂直，一般先证线线垂直，这里由已知的面面垂直可得，另外可由直角梯形的条件证得；‎ ‎（2）本小题相当于求二面角，因此我们以为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设出点坐标，然后求出平面与平面的法向量，由法向量的夹角的余弦表示出二面角的余弦，最后由函数的性质可求得其取值范围．‎ 试题解析：（1）证明：在梯形中，‎ ‎∵，，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，∴平面平面，平面平面，平面，∴平面 ‎（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，‎ 令，则，‎ ‎∴.‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由，得，‎ 取，则，‎ ‎∵是平面的一个法向量，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴当时，有最小值，‎ 当时，有最大值，∴‎ 考点：线面垂直的判断，二面角．‎ ‎【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．‎ ‎22. 如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且.‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）椭圆方程为；（2）存在常数，使得为定值-3.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）‎ 又点P的坐标为（0，1），且＝－1‎ 于是，解得a＝2，b＝‎ 所以椭圆E方程为.‎ ‎（Ⅱ）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1‎ A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）‎ 联立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0‎ 其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0‎ 所以 从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]‎ ‎＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1‎ ‎＝‎ ‎＝－‎ 所以，当λ＝1时，－＝－3‎ 此时，＝－3为定值 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD 此时＝－2－1＝－3‎ 故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.‎ 考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.‎