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- 2024-04-22 发布
一 第二课时 圆的参数方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．曲线C：(θ为参数)的普通方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
解析：由已知条件可得两式平方再相加，可得(x＋1)2＋(y－1)2＝1，故选C.
答案：C
2．参数方程表示的图形是( )
A．直线 B．点
C．圆 D．椭圆
解析：将参数方程化为普通方程为x2＋y2＝25，表示的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆．
答案：C
3．若直线3x＋4y＋m＝0与圆(θ为参数)相切，则实数m的值是( )
A．0 B．10
C．0或10 D．无解
解析：由题意，知圆心(1，－2)，半径r＝1.由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，所以d＝＝1，解得m＝0或m＝10.
答案：C
4．P (x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6
C．26 D．25
解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得：
(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α
＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.
答案：A
5．若直线l：y＝kx与曲线C：(θ为参数)有唯一的公共点，则斜率k＝( )
A. B．－
4
C．± D.
解析：曲线C：(θ为参数)的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，所以曲线C是一个圆心为(2,0)、半径为1的圆．因为圆C与直线l有唯一的公共点，即圆C与直线l相切，则圆心(2,0)到直线l的距离d＝＝1，解得k＝±.
答案：C
6．x＝1与圆x2＋y2＝4的交点坐标是________．
解析：圆x2＋y2＝4的参数方程为
令2cos θ＝1得cos θ＝，∴sin θ＝±.
∴交点坐标为(1，)和(1，－)．
答案：(1，)，(1，－)
7．若直线(t为参数)与圆(α为参数)相切，则θ＝________.
解析：直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，作出图形(图略)，直线与圆相切时，易知tan θ＝±，所以θ＝或θ＝.
答案：或
8．圆的参数方程为(θ为参数)，则此圆的半径为________．
解析：由
得x2＋y2＝(3sin θ＋4cos θ)2＋(4sin θ－3cos θ)2＝25(sin2 θ＋cos2 θ)＝25，
所以圆的半径为5.
答案：5
9．圆M的参数方程为x2＋y2－4Rxcos α－4Rysin α＋3R2＝0(R＞0)．
(1)求该圆的圆心坐标以及半径；
(2)当R固定，α变化时，求圆心M的轨迹．
解析：(1)依题意，得圆M的方程为
(x－2Rcos α)2＋(y－2Rsin α)2＝R2，
故圆心坐标为M(2Rcos α，2Rsin α)，半径为R.
(2)当α变化时，圆心M的轨迹方程为
(其中α为参数)，
两式平方相加，得x2＋y2＝4R2.
所以，圆心M的轨迹是圆心在原点，半径为2R的圆．
10．若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝2x＋y的最值．
解析：由(x－1)2＋(y＋2)2＝4知，它表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆，
4
设x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，
∴S＝2x＋y＝2＋4cos θ－2＋2sin θ
＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)，
∴－2≤S≤2.
∴S的最大值为2，最小值为－2.
[B组 能力提升]
1．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵曲线C的方程为(θ为参数)，
∴(x－2)2＋(y＋1)2＝9，而l的方程为x－3y＋2＝0，
∴圆心(2，－1)到l的距离
d＝＝＝.
又∵<3，>3，∴有2个点．
答案：B
2．若直线y＝x－b与曲线(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋ ]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
解析：曲线即为圆(x－2)2＋y2＝1.
直线y＝x－b与圆(x－2)2＋y2＝1有两个不同的公共点，则圆心(2,0)到直线y＝x－b的距离小于圆的半径1，
即<1，∴2－