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- 2024-04-22 发布
2018～2019学年度第一学期期末七校联考
高三数学（文科）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
3．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
第I卷（选择题，共40分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出集合，然后再求出集合的补集，然后再根据集合的交集运算即可求出结果.
【详解】由于，所以，所以，故选D.
【点睛】本题主要考查集合的补集、交集运算，熟练掌握补集、交集的运算公式是解决问题的关键.
2.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先解出不等式，和，然后再根据充分必要条件的定义即可求出结果.
【详解】由，得；由，得或；所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
3.若变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A. 16 B. 0
C. -2 D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行平移，结合图象得到的最大值．
【详解】根据约束条件，画出可行域，如下图阴影部分：
平移直线，由图象可知当直线经过点时，取到最大值，最大值为16，故选B.
【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．
4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（ ）
A. 21 B. 58 C. 141 D. 318
【答案】C
【解析】
经过第一次循环得到的结果为，；
经过第二次循环得到的结果为，；
经过第三次循环得到的结果为，；
经过第四次循环得到的结果为，；
经过第五次循环得到的结果为，，此时输出结果.
故选C.
5.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【详解】抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
6.将函数的图象经怎样平移后，所得的图象关于点成中心对称
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平移规律得解析式，再根据图象关于点中心对称得平移量，最后比较对照进行选择.
【详解】函数的图象向左平移得，
因为图象关于点中心对称，所以
,当k=0时,选B.
【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
7.已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件，可知函数关于对称，由对任意（0，3)都有，可知函数在（0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到的大小．
【详解】因为，得函数关于对称，
又对任意（0，3)都有，所以函数在（0，3)时单调递减，
因为，所以，
又，所以，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用条件求出函数的单调性和对称性,利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键.
8.边长为的菱形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与相交于点.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，将向量用表示，利用数量积公式计算即可得到结果．
【详解】由题意可知，做出菱形ABCD的草图，如下图：
由题意易知，，可得，
所以，又，所以
，故选B.
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，向量数量积的定义及性质，考查了学生的归纳分析能力，和运算能力，属于中档题．
第II卷（非选择题，共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填写在相应的横线上.）
9.设复数，则=__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得到，再由共轭复数的概念得到，进而求出结果．
【详解】.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
10.已知正方体内切球的体积为，则正方体的体对角线长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
正方体的内切球的直径与正方体的边长相等，即可得出结论．
【详解】∵正方体的内切球体积为，设内切球的半径为， ∴，所以内切球的半径为， ∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等， ∴正方体的边长为6， 故该正方体的体对角线长为．
【点睛】本题考查了学生的空间想象力，考查学生的计算能力，属于基础题．
11.已知直线为圆的切线，则为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由于直线与圆相切，利用圆心到直线的距离公式求出圆到直线的距离等于半径，即可求出结果.
【详解】因为直线为圆的切线，所以圆心到直线的距离为，又，所以，故填.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．
12.已知函数是定义在R上的奇函数，，当时，，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数是定义在R上的奇函数，，则，则可以将定义域分为四个区间结合单调性进行讨论，可得答案．
【详解】依题意，当时，，所以，得函数在上为增函数；又由，得函数在上为偶函数；
∴函数在上为减函数，又，所以，
作出草图，
由图可知的解集是，故答案为.
【点睛】本题综合考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题.
13.已知，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可．
【详解】令，则，
所以，
所以，当且仅当时取等号，故的最小值为3.
【点睛】本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用．
14.已知函数，若方程有八个不等的实数根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数求出函数的单调性，然后作出的简图，由图象可得当时，有四个不同的与对应．再结合题中“方程有8个不同实数解“，可以分解为形如关于的方程在内有两个不等的实数根，然后再根据二次函数根的分布即可求出结果．
【详解】当时令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以；由此作出函数的草图，如下图：
有图像可知当时，有四个不同的x与f（x）对应，令，又方程有八个不等的实数根，所以在内有两个不等的实数根，令，可得，得.
【点睛】本题考查函数的单调性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．
三、解答题（本大题6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.在中，是角所对的边，若．
（1）求角的大小；
（2）若 的面积为，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）首先利用余弦的二倍角公式，将已知条件化成的二次方程，即可求出，进而求出角的值；
（2）利用三角形的面积公式，即可求出的值，然后再根据余弦定理即可求出的值.
【详解】（1）； ；所以
（2），所以；
且，即.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余项定理的应用，同时还考查了三角函数的恒等变换，属于基础题，熟练掌握相关公式是解决本题的关键.
16.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一. 坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村中60户农民种植苹果、40户农民种植梨、20户农民种植草莓（每户仅扶持种植一种水果），为了更好地了解三种水果的种植与销售情况，现从该村随机选6户农民作为重点考察对象；
（1）用分层抽样的方法，应选取种植苹果多少户？
（2）在上述抽取的6户考察对象中随机选2户，求这2户种植水果恰好相同的概率.
【答案】（1）3（2）
【解析】
【分析】
（1）利用分层抽样，求出抽样的比例，即可求出结果；
（2）由（1）可设苹果户为A，B，C；梨户为a，b；草莓户为1，然后再从6户任选2户，列出基本事件总数，找到满足要求的基本事件数，根据古典概型即可求出结果.
【详解】（1），
所以应选取种植苹果户.
（2）记苹果户为A，B，C；梨户为a，b；草莓户为1；则从6户任选2户，基本事件总数为：AB，AC，Aa，Ab，A1，BC，Ba，Bb，B1，Ca，Cb，C1，ab，a1，b1共15种；
设“6户中选2户，这两户种植水果恰好相同”为事件M，则事件M包含的基本事件数为：AB，AC，BC，ab共4种；
所以，概率为：
【点睛】
古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这类随机试验中只有有限种不同的结果，即只可能出现有限个基本事件不妨设为 ；且它们具有以下三条性质: (1)等可能性:：； (2)完备性：在任一次试验中至少发生一个； (3)互不相容性：在任一次试验中，，中至多有一个出现,每个基本事件的概率为，即；第二步：掌握古典概率的计算公式； 如果样本空间包含的样本点的总数，事件包含的样本点数为，则事件的概率.
17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，面
（1）若为的中点，求证面；
（2）求证：面 ；
（3）求与面所成角的大小.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接和，由中位线定理可知，且，再根据平行线的传递性可知，且所以四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理即可证明结果；
（2）由线面垂直的判定定理即可证明面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；
（3），所以面，所以即为与面所成角，再根据正弦定理即可求出结果.
【详解】（1）取中点，连接和， 且，且,
则且所以四边形为平行四边形，所以
面PAB，
面PAB，所以面；
（2），
，所以；
（3），所以，所以即为所求.
，，所以与面所成角的大小为.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直、面面垂直的判定定理，以及线面角的求法，熟练掌握这些判定定理是解题的关键，本题属于基础题.
18.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和；
（3）若对于，恒成立，求范围.
【答案】（1）（2）（3）或
【解析】
【分析】
（1）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．可得
，将代入，即求出结果．
（2）由（1）可知，由于为偶数，再采用裂项相消即可求出结果；
（3）由（2）可知，，解不等式即可求出结果.
【详解】（1）
成等比，解得.
（2）
（3）
； 或
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组与“裂项求和”方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.已知椭圆（）的左右焦点分别为，左右顶点分别为，过右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，，的周长为.过点作直线交椭圆于第一象限的点，直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若的面积为，求直线的方程；
（3）证明：点在定直线上.
【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的性质，即可由此即可求出椭圆的方程；
（2）分直线MN的斜率存在和不存在两种情况，利用韦达定理求出弦长，然后再根据点到直线的距离公式求出高的长度，再根据的面积为，即可求出结果；
（3）设：，与椭圆联立，可得，设：，同理可得 ，可得的方程为：，又直线方程过，将代入直线方程，由此可得，因为与交于点，所以可得，由此即可求出结果.
【详解】（1），解得：；
所以椭圆方程为：.
（2）设，①当直线MN斜率存在时：设MN方程为，联立得：，
，；
；
到MN直线的距离为，
；
当时，MN直线方程过直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；
所以MN方程为.
②当直线MN斜率不存在时，（舍）.
综上：直线MN方程为：
（3）设：，与椭圆联立：，
同理设：，可得
所以的方程为：以及方程过，将坐标代入可得：， .
又因为与交于P点，即，，将代入得，所以点P在定直线上 MN方程为
【点睛】本题主要考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系，和定直线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
20.已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）若函数与在内恰有一个交点，求实数的取值范围；
（3）令，如果图象与轴交于，中点为，求证:.
【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义，求出斜率和切点，然后再根据点斜式即可求出结果；
（2）利用导数求出函数在的单调性，根据函数的单调性做出草图，即可求出实数的取值范围；
（3）由点在图象上，把点的坐标代入的解析式得方程组，两式相减得关于的方程，假设成立，求导，得关于的方程，由中点坐标公式转化关于的方程，两方程消去，得关于的方程，整理此方程，分子分母同除以，整理方程，右边为，设，左边得关于的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于，所以方程不成立，所以假设不成立，所以．
【详解】（1），
则，且切点坐标为；
所以所求切线方程为：
（2），所以在为增函数，在为减函数，
， ；
所以
（3），， 假设，则有
①-②得： ∴，
由④得， ∴；即；
即⑤； 令，，
则在0