- 1.14 MB
- 2024-04-21 发布
母题十一 几何体面积、体积的计算
【母题原题1】【2018天津，理11】
已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，（如图），则四棱锥的体积为 ．
【答案】
【名师点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
【母题原题2】【2017天津，理10】
已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
【答案】
【解析】设正方体边长为，则，
外接球直径为．
【名师点睛】
求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法．
【母题原题3】【2016天津，理11】
已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______．
【答案】2
【名师点睛】1．解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
【命题意图】 高考对本部分内容重点考查球的体积与表面积的计算． + +
【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一是计算球的体积与表面积；二是已知球的体积与表面积求解相关问题．
【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：
第一步：求正方体的边长 根据正方体的表面积为18，求正方体的边长；
第二步：求外接球的半径 正方体的体对角线的一半； 学
第三步：下结论． 根据球的体积公式计算．
【方法总结】[：学
（1）若球的半径为，则其表面积为，体积为．
（2）正方体的棱长为a，球的半径为R，
①正方体的外接球，则2R＝a；
②正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝a．
（3）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝． ．
（4）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1． 学
（5）解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的． 学
1．【2018天津河北区二模】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．
2．【2018天津上学期期末考试】一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）
A． 12 B． 24 C． 36 D． 48
【答案】C
3．【2018天津静海期中考试】已知三棱柱中，底面，，，，，则该三棱柱的表面积是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：该几何体的表面积由两个直角三角形的底面与三个矩形的侧面组成，求出直角三角形的面积与矩形的面积即可得结果．
详解：
如图，三棱柱中，底面，，
该几何体的表面积为：，故选D．学
【名师点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题．要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：
①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；
②若面（），则（为外接圆半径）
③可以转化为长方体的外接球；
④特殊几何体可以直接找出球心和半径．
4．【2018天津实验中学期中考试】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．【2018天津耀华中学期中考试】一个球受热膨胀，表面积增加，那么球的半径增加了（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设因膨胀半径由变为，则，
∴，∴半径增加．故选．
8．【2018天津七校联考期中考试】在梯形中， ， ， ．将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】几何体为一个圆柱去掉一个圆锥，体积为 ，选C
9．【2018天津耀华中学模拟三】某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
10．【2018天津南开中学模拟】一个几何体的三视图如图所示（单位：)，则该几何体的体积为__________．
【答案】．
【名师点睛】该题考查的是有关根据几何体的三视图求其体积的问题，在解题的过程中，还原几何体是解题的关键，之后利用图中的相关数据，结合体积公式求得结果，注意组合体的体积在求解的11．【2018天津部分区二模】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为_______．
【答案】
【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥与半个圆柱的组合体，由此求出它的体积即可．
详解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为四棱锥，下部为半个圆柱的组合体，
四棱锥的高为2，底面矩形的宽为2，长为4，圆柱的高为4，底面半径为1，
∴该组合体的体积为故答案为．
【名师点睛】本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题，是基础题目．
12．【2018天津河东区二模】麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆．制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有．一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为576 ，则一个麻团的体积为_______．
【答案】
解得：r2=9，即r=3，可得一个麻团的体积V==36π．故答案为：36π
【名师点睛】本题主要考查球的体积，考查几何体的内切球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间观察想象能力． 学
13．【2018天津市十二校二模】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
【答案】
【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．
14．【2018天津9校联考】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为__________．
【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体为四棱柱中挖去了半个圆锥，
所以该几何体的体积为，故答案为：．
15．【2018天津十二重点中学模拟】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________．
【答案】
【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱，如图所示：
【名师点睛】本题主要考查三棱柱外接球表面积的求法，属于中档题．要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径．
16．【2018天津部分区期末考】一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为__________．
【答案】36
【解析】由三视图还原原几何体如图：
该几何体为四棱锥，四棱柱，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥
BC，BC=2AB=2AD=2，侧棱AA1=6，∴该四棱柱的体积为V=．故答案为：36．
17．【2018天津实验中学期中考试】已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为，，，则这个长方体外接球的表面积为__________．
【答案】
18．【2018天津耀华中学期中考试】已知圆锥侧面展开图为中心角为的扇形，其面积为，圆锥的全面积为，则为__________．
【答案】
【解析】圆锥底面弧长，∴，即，，
，∴，．
19．【2018天津七校联考期中】一个几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积为__________．
【答案】
【解析】几何体为一个圆锥与一个棱柱的组合体， 体积为
20．【2018天津河东区期中】如图，一个几何体的三视图的轮廓均为边长为的取值范围为
__________．
21．【2018天津一中月考五】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
【答案】
【名师点睛】本题考查由三视图还原几何体和组合体体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算能力，解答的关键是正确的由三视图得到几何体． 学 /
22．【2018天津一中月考三】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
【答案】
【解析】几何体如图，体积为
23．【2018天津一中月考二】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________．
【答案】
【名师点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键．