- 966.50 KB
- 2024-04-20 发布
山丹一中2019-2020学年上学期11月月考试卷
高一数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
测试范围：人教必修1，必修2第1章、第2章.
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合A={x|–3≤x<1}，B={x|x2≤4}，则A∪B等于（ ）
A. {x|–2≤x<1} B. {x|–3≤x≤2} C. {x|x<1} D. {x|x≤2}
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出集合A，B，由此能求出．
【详解】∵集合，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.函数的定义域为( )
A. 且 B. 且
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得：要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．
【详解】解：要使有意义，则：；
解得，且；
∴的定义域为：．
故选A．
【点睛】本题主要考查了函数定义域的定义及求法，属于基础题．
3.下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A. 三棱柱的底面为三角形
B. 一个棱柱至少有五个面
C. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
【答案】C
【解析】
显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.
4.已知f（x）=ax5+bx3+cx+3，且f（–2）=5，则f（2）=（ ）
A. 2 B. 1 C. –2 D. –1
【答案】B
【解析】
【分析】
可根据，求出，从而可求出．
【详解】∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，已知函数求值的方法，属于基础题.
5.已知函数，则的解析式为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.
【详解】令,则，所以
即 .
【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.
6.下列命题正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C. 棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体
D. 一个正方形按不同方向平移所得几何体都是正方体
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间几何体的定义，对选项中的命题判断正误即可．
【详解】对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台，
因为不能保证各侧棱的延长线交与一点，∴A错误；
对于B，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，
因为不能保证截面与底面平行，∴B错误；
对于C，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，
其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，∴C正确；
对于D，一个正方形按不同方向平移所得几何体，可能是正方体，也可能是长方体，D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征应用问题，属于基础题．
7.函数y的定义域为R，则k的取值范围是（ ）
A. （–∞，9）∪[0，+∞） B. [1，+∞）
C [–9，1） D. （0，1]
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得出，不等式的解集为R，从而得出，解出的范围即可．
【详解】∵的定义域为R，
∴不等式的解集为R，
当，显然不合题意，
∴，解得，
∴k的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义及求法，一元二次不等式的解集为所满足的条件，属于中档题.
8.A4纸是生活中最常用的纸规格．A系列的纸张规格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸，1张A1纸对裁可以得到2张A2纸，依此类推．这是因为A系列纸张的长宽比为：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈，那么A4纸的长度为（ ）
A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对折规律可得A4纸的长度.
【详解】由题意，A0纸长与宽分别为118.9厘米，84.1厘米，
则A1纸的长为，A2纸的长为，
A3纸的长为，A4纸的长为=29.7（厘米）．
故选C
【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键.
9.若函数f（x）=loga（x2–ax+2）在区间（0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. [2，3） B. （2，3） C. [2，+∞） D. （2，+∞）
【答案】A
【解析】
【分析】
函数为函数与的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论，，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得的范围.
【详解】∵函数在区间上为单调递减函数，
∴时，在上为单调递减函数，
且在上恒成立，
∴需在上的最小值，
且对称轴，∴，
当时，在上为单调递增函数，不成立，
综上可得的范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了对数函数的图象和性质，二次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法，属于中档题.
10.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ）
A. 小时 B. 小时 C. 5小时 D. 小时
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用函数关系式，结合前5个小时消除了90%的污染物，求出常数k的值，然后根据污染物的残留含量不得超过1%，列出方程，即可求出结论．
【详解】由题意，前5个小时消除了的污染物，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
则由，
即，
∴，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%，
又∵前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时.
故本题选C.
【点睛】
本题主要考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域，考查函数的应用，根据实际问题列出表达式是解题的关键，属中档题.
11.设函数满足，则的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：设，则，所以，所以，故选C．
考点：求函数解析式．
12.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的解析式分析函数的奇偶性与单调性，据此分析可得f（lnx）+f（ln）＜2f（1）⇒2f（lnx）＜2f（1）⇒f（lnx）＜f（1）⇒|lnx|＜1，解可得x的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）＝ln（1+|x|），则f（﹣x）＝ln（1+|x|）f（x），即函数f（x）为偶函数，
在[0，+∞）上，f（x）＝ln（1+x），则f（x）在[0，+∞）上为增函数，
f（lnx）+f（ln）＜2f（1）⇒2f（lnx）＜2f（1）⇒f（lnx）＜f（1），
即|lnx|＜1，解可得x＜e，即不等式的解集为（，e）；
故选C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数，则等于________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得的值，进而求得的值.
【详解】因为，所以.
故答案为.
点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，属于基础题.
14.把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M'称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体中，AB=5，AD=4，AE=3．则△EBD在平面EBC上的射影的面积是___________．
【答案】2
【解析】
【分析】
连接，作，可证得在平面上的射影为，即可求出结论．
【详解】如图所示，
连接，作，
由长方体的性质可得面，所以，
又由于，所以面，
即在平面上的射影为，
面积为，
故答案为：.
【点睛】本题考查射影的概念，考查面积的计算，确定在平面上的射影为是关键，属于中档题.
15.过圆锥的轴的截面是顶角为120°的等腰三角形，若圆锥的体积为π，则圆锥的母线长为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意，求出圆锥的底面半径和高，代入公式即可．
【详解】由题意可知，如图圆锥的轴截面的顶角，
所以直角三角形中，，
圆锥的底面半径为，
高，
所以该圆锥的体积为：，
解得，∴圆锥的母线长为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆锥的体积，求出圆锥的底面半径和高是解决问题的关键，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
16.已知函数，且时，不等式f（ax）>f（x–1）恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可判断出为偶函数，且在上单调递增，所以，进一步可求的取值范围．
【详解】当时，，则，
当时，，
则，
所以偶函数．
又因为时，，
所以在上单调递增，
则时不等式恒成立，
即，因为在的最大值为1，所以，
则有，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性、单调性以及函数恒成立等问题，综合能力较强，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知的定义域为集合A，集合B=.
（1）求集合A；
（2）若AB,求实数的取值范围.
【答案】（1）;（2）.
【解析】
【分析】
（1）求定义域注意：根号下被开方数大于等于，分式的分母不为；
（2）由，分别考虑与区间左端点的大小关系、与区间右端点的大小关系，不熟练的情况下，可画数轴去比较大小.
【详解】（1）由已知得 即
∴
（2）∵
∴ 解得
∴的取值范围.
【点睛】（1）子集关系中包含了相等关系，这一点考虑问题的时候需要注意；
（2）两个集合满足某种关系，当需要考虑到端点处取等号的情况，若不确定，可利用数轴直观进行分析（数形结合）.
18.计算
（1）
（2）
【答案】（1）（2）1
【解析】
【分析】
（1）根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算的性质，准确运算，即可求解.
【详解】（1）由.
（2）由.
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19.在四棱锥P–ABCD中，ABCD是矩形，PA=AB，E为PB的中点．
（1）若过C，D，E的平面交PA于点F，求证：F为PA的中点；
（2）若平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥PA．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）推导出，从而平面PAB，进而CD∥EF，AB∥EF，再由E为PB的中点，能证明F为PA的中点；（2）推导出AE⊥PB，从而AE⊥平面PBC，AE⊥BC，由ABCD是矩形，得AB⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PA．
【详解】（1）因为ABCD是矩形，
所以，CD∥AB，又AB⊂平面PAB，CD平面PAB，
所以CD∥平面PAB，
又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB=EF，
所以CD∥EF，
所以AB∥EF，又在△PAB中，E为PB的中点，
所以F为PA的中点．
（2）因为PA=AB，E为PB的中点，所以AE⊥PB，
AE⊂平面PAB又平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，
所以AE⊥平面PBC，
BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，又ABCD是矩形，
所以AB⊥BC，AE∩AB=A，AB，AE⊂平面PAB，
所以，BC⊥平面PAB，
PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA．
【点睛】本题考查线段中点的证明，考查线线的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
20.已知函数（且）的图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）求的值域.
【答案】（1）或（2）
【解析】
【分析】
（1）将点代入函数计算得到答案.
（2），当，即时，取得最小值，得到答案.
【详解】解：（1）因为（且）的图象经过点，
所以.
因为且，所以，
所以的解析式为或
（2）
当，即时，取得最小值
因为
所以的值域为
【点睛】本题考查了函数的表达式和值域，属于常考题型.
21.已知在几何体ABCDE中，AB⊥平面BCE，且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，F是线段CD上的中点，G是线段BE的中点，且AB=2．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求三棱锥F–BGC的表面积．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）取AB中点H，连结HF，GH，推导出平面HGF∥平面ADE，由此能证明GF∥平面ADE；（2）推导出CF⊥BC，CF⊥CG，CG⊥BG，CF=1，BC=2，BG=1，，三棱锥的表面积：．
【详解】（1）取AB中点H，连结HF，GH，
∵F是线段CD上的中点，G是线段BE的中点，
∴HF∥AD，GH∥AE，
∵HF∩HG=H，AD∩AE=A，HF、HG⊂平面HGF，AD、AE⊂平面ADE，
∴平面HGF∥平面ADE，
∵GF⊂平面HGF，
∴GF∥平面ADE．
（2）∵在几何体ABCDE中，AB⊥平面BCE，
且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，
F是线段CD上的中点，G是线段BE的中点，且AB=2．
∴CF⊥BC，CF⊥CG，CG⊥BG，CF=1，BC=2，BG=1，，
∴三棱锥F–BGC的表面积：
.
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合思想，是中档题．
22.已知（双勾函数）．
（1）利用函数的单调性证明在上的单调性；
（2）证明f（x）的奇偶性；
（3）画出的简图，并直接写出它单调区间．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）图像见解析，的单调递增区间为，，单调递减区间为，
【解析】
【分析】
（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）结合三角函数的奇偶性进行判断即可；（3）根据函数的奇偶性和单调性，作出函数的图象进行判断即可.
【详解】（1）设，
则，
则，
当时，，则，则，
即，
此时函数为减函数，
当时，，则，则，
即，
此时函数为增函数．
（2），
则函数为奇函数．
（3）由（1）知结合函数奇偶性和单调性作出函数的图象如图：
由图象和性质知的单调递增区间为，，
单调递减区间为，．
【点睛】本题主要考查对勾函数的图象和性质，结合函数单调性和奇偶性的定义以及利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题.