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- 2024-04-19 发布
2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课时作业
1、已知一个关于、的二元一次方程组的增广矩阵是，则________
2、已知三阶行列式，元素的余子式的值与代数余子式的值之和为 ．
3、方程的解为______．
4、定义四个数的二阶积和式.九个数的三阶积和式可用如下方式化为二阶积和式进行计算： .已知函数 ，则的最小值为__________.
5、求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.
6、已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求直线的方程．
7、已知矩阵M＝的逆矩阵M－1＝，求实数m，n．
8、已知，向量是矩阵的属于特征值-4的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.
9、已知点在矩阵对应的变换作用下得到的点，求：
（1）矩阵；
（2）矩阵的特征值及对应的特征向量.
10、已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点
（1）求实数的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
11、已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求与.
12、已知矩阵不存在逆矩阵，求：
（1）实数的值；（2）矩阵的特征向量.
13、在平面直角坐标系xOy中，已知．设变换，对应的矩阵分别为，，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．
14、求矩阵的特征值和特征向量.
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值.
15、已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵．
16、已知矩阵，，.
（1）求，的值；
（2）求的逆矩阵.
17、在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线仍为，求矩阵的逆矩阵.
18、已知矩阵将直线l：x＋y－1＝0变换成直线l′．
(1)求直线l′的方程；
(2)判断矩阵A是否可逆？若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A－1
；若不可逆，请说明理由．
19、已知：点在变换：作用后，再绕原点逆时针转90°，得到点，若点的坐标为（-3,4），求点的坐标.
20、已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点，求实数的值．
参考答案
1、答案：5
由题意可得： ，则： ，
据此可得： .
2、答案：
元素8的余子式为：6，元素8的代数余子式为：（﹣1）56，由此能求出元素8的余子式的值与代数余子式的值之和．
【详解】
∵三阶行列式，
∴元素8的余子式为：6，
元素8的代数余子式为：（﹣1）56，
∴元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为：﹣6+6＝0.
故答案为：0.
名师点评：
本题考查行列式的余子式与代数余子式之和的求法，考查余子式、代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3、答案：
方程可化为，求解即可.
【详解】
由得即，解得.
故答案为
名师点评：
本题主要考查矩阵，由矩阵的运算转化为含指数的方程，即可求解，属于基础题型.
4、答案：-21
由题中新定义的运算可得：
=(？9)×(2n+1)+2(n2+n)+n(n+2n)=5n2？16n？9，
∵n∈N？,∴n=2时,f(n)的最小值为？21.
名师点评：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。
5、答案：
试题分析：先由矩阵变换得到曲线方程：，再根据曲线形状：菱形，计算其面积：．
试题设点为曲线上的任一点，在矩阵对应的变换作用下得到的点为，
则由，3分
得：即5分
所以曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为，8分
所围成的图形为菱形，其面积为．10分
考点：矩阵变换
6、答案：.
试题分析：分析：先求出AB＝，再设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，再求直线的方程．
详解：因为A＝，B＝，所以AB＝．
设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)．
因为P0(x0，y0)在直线l:x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0.①
由AB，即，
得,即,②
将②代入①得x－4y＋4＝0，
所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0.
名师点评：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.
7、答案：
试题分析：根据矩阵的变换进行化简，列出方程组，即可求解。
【详解】
由，
所以解得
名师点评：
本题主要考查了矩阵与变换的应用，其中解答中根据矩阵和变换，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
8、答案：，另一个特征值为1
试题分析：利用A4，可得A，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．
【详解】
由已知，即，
则所以所以矩阵，
所以矩阵A的特征多项式为，
所以矩阵A的另一个特征值为1
名师点评：
本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．
9、答案：（1）；（2）时，对应特征向量：；时，对应特征向量：
.
试题分析：（1）根据矩阵的乘法公式计算即可；（2）写出矩阵的特征多项式，令＝0，得矩阵的特征值，即可得到特征向量.
【详解】
（1），所以，，解得：,
所以，.
（2）矩阵的特征多项式
，
令＝0，得矩阵的特征值：或，
时，，得一非零解：，对应特征向量：；
时，，得一非零解：，对应特征向量：.
名师点评：
本题给出二阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．
10、答案：(1)(2)
试题分析：（1）由可解得；（2）矩阵的特征多项式为
，令，得矩阵的特征值为与，再分别求其相应的特征向量.
试题
（1）由
（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为
令，得矩阵的特征值为与
当时，
矩阵的属于特征值-1的一个特征向量为；
当时，
矩阵的属于特征值4的一个特征向量为.
11、答案：，
试题分析：
由向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量可得，由此可求得，从而可得，然后根据逆矩阵的定义并由待定系数法求得．
试题
由已知得，
所以
所以.
设，
则，
即.
解得，，，
所以.
综上，.
12、答案：(1)；(2)答案见解析.
试题分析：（1）根据题意，将问题转化为行列式为0进行求解；（2）利用特征向量的定义进行求解.
试题（1）由题意，即，解得；
（2），即，所以，解得，
时，，，属于的一个特征向量为；
时，，，属于的一个特征向量为.
13、答案：12
试题分析：依次实施变换，所对应的矩阵，分别求得点，，在此矩阵的作用下变换后的点，即可求得面积.
试题依题意，依次实施变换，所对应的矩阵．
则，，．
∴分别变为点．
∴所得图形的面积为．
14、答案：（1）属于的一个特征向量，属于的一个特征向量为，
（2），或.
试题分析：（1）求得矩阵的特征多项式，令，求得M的特征值，分别将特征值代入二元一次方程组，即可求得其特征向量；（2）根据圆的极坐标方程和参数方程化圆方程为直角坐标方程，利用两圆相切即可求出.
试题
（1）
由可得：，.
由可得属于的一个特征向量
由可得属于的一个特征向量为
（2）：，圆心，半径，
：，圆心，边境.
圆心距，
两圆外切时，，；
两圆内切时，，.
综上，，或.
15、答案：
试题分析：设二阶矩阵为，根据特征值、特征向量可列出关于的方程组，求解即可得到结果.
【详解】
设所求二阶矩阵
因为有特征值，其对应的一个特征向量为
所以，且
所以，解得
所以
名师点评：
本题考查二阶矩阵以及特征值与特征向量的计算问题，属于基础题.
16、答案：（1）；（2）.
试题分析：(1)由题得即得（2）由题得，即得的逆矩阵.
【详解】
解：（1）因为，，，
所以即
（2）因为，
所以.
名师点评：
本题主要考查矩阵的性质和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17、答案：.
试题分析：
应用结合矩阵变换的定义可得：，据此求解逆矩阵可得：.
试题
设是直线上任意一点，其在矩阵对应的变化下得到
仍在直线上，
所以得，与比较得，解得，故,
求得逆矩阵.
18、答案：（1）；（2）
试题分析：（1）任取直线上一点经矩阵变换后点为,利用矩阵乘法得出坐标之间的关系,求出直线的方程；(2)利用待定系数法,先假设所求的变换矩阵,再利用,建立方程组,解之即可.
试题(1)在直线l上任取一点P(x0，y0)，
设它在矩阵A＝对应的变换作用下变为Q(x，y)．
则＝，∴即
又∵点P(x0，y0)在直线l：x＋y－1＝0上，∴＋－1＝0，
即直线l′的方程为4x＋y－7＝0.
(2)∵≠0，∴矩阵A可逆．设A－1＝，∴AA－1＝，
∴解得∴A－1＝.
19、答案：.
试题分析：在变换作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：，设，求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A的坐标．
试题
根据题意知，在变换作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：，设，则由，得，∴，即.
20、答案：
试题分析：先根据逆矩阵公式得逆矩阵，再根据矩阵运算得直线上一点坐标，代入可得斜率
试题矩阵，得，
所以，
将点代入直线得.