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- 2024-04-18 发布
中山市第一中学2017-2018学年高二年级第二次统测
理科数学试卷
命题人： 审题人：
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．由归纳推理得到的结论一定正确
B．由类比推理得到的结论一定正确
C．由合情推理得到的结论一定正确
D． 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确
2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．用反证法证明命题“已知a、b、c为非零实数，且，求证a、b、c中至少有二个为正数”时，要做的假设是（ ）
A．a、b、c中至少有二个为负数 B．a、b、c中至多有一个为负数
C．a、b、c中至多有二个为正数 D．a、b、c中至多有二个为负数
5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
0
1
P
则q等于
A． 1 B． C． D．
6．若，且，则等于
A． B． C． D．
7．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A． 24 B．18 C．12 D．9
8．设，则的值是
A． 665 B．729 C．728 D．63
9．如图，由曲线，直线和x轴围成的封闭图形的面积是
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，则
A． B．e C． D．1
11．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于
A． B．
C． D．
12．若函数在上是单调函数，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，不同的染色方法的种数有______ 种．
14．已知复数z满，则 ______ ．
15．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．
16． ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
（一）必做题
17．（本题满分为12分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．
（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列．
18．（本题满分为12分）某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
气温
14
12
8
6
用电量度
22
26
34
38
（I）求线性回归方程；（参考数据：，）
（II）根据（I）的回归方程估计当气温为时的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，．
19．（本题满分为12分）已知，（）．
（1）求并由此猜想数列的通项公式的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
20．（本题满分为12分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的．
（1）求该展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
21．（本题满分为12分）设函数，记．
（I）求曲线在处的切线方程；
（II）求函数的单调区间；
（III）当时，若函数没有零点，求a的取值范围．
（二）选做题（请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。）
22．（本题满分为10分）已知直线l的参数方程为（为参数）
，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于两点，求．
23．（本题满分为10分）求证：
（1）；
（2）．
中山市第一中学2017-2018学年高二年级第二次统测
理科数学参考答案
【答案】
1． D 2． A 3． A 4． A 5． C 6． A 7． B
8． A 9． D 10． C 11． B 12． B
13． 180 14． 15． 16．
17． 解：设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A，事件A包括两种情况，一是抽到的是一个一等品，二是抽到的是一个二等品，这两种情况是互斥的，
事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”；
由题可知X可能取值为．
，
的分布列是：
18． 解：
把代入回归方程得，解得．
回归方程为；
当时，，估计当气温为时的用电量为30度．
19． 解：因为
所以
由此猜想数列的通项公式
下面用数学归纳法证明
当时，，猜想成立
假设当 时，猜想成立，即
那么．
即当时，猜想也成立；
综合可知，对猜想都成立，即
20． 解：第项系数为，第r项系数为，第项系数为依题意得到，即，解得，
所以二项式系数最大的项是第4项和第5项．
所以．
设第项的系数最大，则
解得
又因为，所以
展开式中系数最大的项为
21． 解：，则函数在处的切线的斜率为．
又，
所以函数在处的切线方程为，即
Ⅱ．
当时，在区间上单调递增；
当时，令，解得；
令，解得．
综上所述，当时，函数的增区间是；
当时，函数的增区间是，减区间是．
Ⅲ依题意，函数没有零点，
即无解．
由Ⅱ知，当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，
由于，只需，
解得．
所以实数a的取值范围为
22． 解：直线l的参数方程为为参数，
消去t得到：，
即：．
曲线C的极坐标方程为
转化为：，
整理得：．
将l的参数方程为参数，代入曲线C：，
整理得：，
所以：，
则：．
23． 证明：，
；
要证，
只要证，
只要证，
只要证，
只要证，
显然成立，
故．