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- 2024-04-16 发布
第二十一章 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
知识点：一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=- ,x1x2=,即任何一个一元二次方程的根与系数的关系:两根之和等于一次项系数与二次项系数比的相反数,两根之积等于常数项与二次项系数的比.
归纳整理:(1)如果x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.
(2)一元二次方程根与系数的关系的应用:
①检验解一元二次方程所得的根是否正确;
②已知方程的一根,求另一根或方程中的字母系数;
③已知方程的两个根的和和积,求一元二次方程;
④已知两个根之间的关系,确定方程中字母系数的值;
⑤不解方程,判断一元二次方程根的符号.
(3)注意:使用一元二次方程根与系数的关系时要注意前提条件:①是在一元二次方程条件下,即注意二次项系数a≠0;②是在方程有实数根的前提下,即Δ≥0;两者缺一不可.
考点：利用一元二次方程根与系数的关系解决问题
【例】 已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0.
(1)如果此方程有两个不相等的实数根,求a的取值范围;
(2)如果此方程的两个实数根为x1,x2,且满足+=-,求a的值.
解:(1)Δ=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a.
∵ 方程有两个不相等的实数根,
∴ Δ>0,即a>-1.
(2)由题意得x1+x2=2,x1·x2=-a.
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∵ +==,+=-,
∴ =-.
∴ a=3.
点拨:利用一元二次方程的根的判别式求a的取值范围,利用根与系数的关系和+=-得到关于a的等式,求出a的值.
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