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- 2024-04-16 发布
河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二上学期第三次月考
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2. 为等比数列的前项和，，则（ ）
A．12 B．21 C．36 D．48
3. 椭圆的左右焦点分别为,过作轴的垂线交于点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知等差数列，等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A． B． C．或 D．10或
5. 在中，角的对边分别为，若，则此三角形外接圆的半径（ ）
A． B． C． D．
6.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
7．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若(其中位于之间)，且，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
8.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
10.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
11.分别是椭圆的左顶点和上顶点，是该椭圆上的动点.则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若，则的取值范围是 ．
14. 已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为 ．
15. 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若，则 ．
16. 给出下列命题：
①中角的对边分别为，若，则；
②，若，则；
③若，则；
④设等差数列的前项和为，若，则.
其中正确命名的序号是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如图，在中，已知，且三内角满足：，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.
18.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19. 在中，内角所对的边分别是，且，.
（1）若，求的值；
（2）若的面积，求的值.
20. 已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被真线截得的弦长为，求此抛物线方程.
21. 设函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
22. 如图，椭圆的右焦点为，右顶点、上顶点分别为点，且.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若斜率为2的直线过点，且交椭圆于两点，，求直线的方程及椭圆的方程.
试卷答案
一、选择题
1-5: CBCCD 6-10: CBADD 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 15. 16.①②④
三、解答题
17. 解：以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系
∴
∵
∴由正弦定理得:
∴.
∴由双曲线的定义知，点的轨迹以为焦点，以为实轴长的双曲线的右支（除去与轴的交点）
∴
∴顶点的轨迹方程为.
18.解（1）设等差数列的公差为，
因为成等比数，所以，即①
又，所以 ②
联立①②解得，所以.
（2）由（1）可知，
则.
19.（1）由正弦定理及，得，即.
由，得.由余弦定理，得，∴.
（2）由，得.
由，解得.
由，解得.
由余弦定理，得 ∴.
由正弦定理，得.
20.解：设抛物线方程为，
由方程组消去得：，
∵直线与抛物线有两个交点，∴，即或，
设两交点坐标为，则，
弦长为
∵，∴，即，解得或
所求抛物线方程为：或.
21.解：（1）若，原不等式可化为，解得；
若，原不等式可化为，解得或；
若，原不等式可化为，其解得情况应由与1的大小关系确定，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得.
综上，当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）由得，
∵，∴，∴
∴在上恒成立，即在上恒成立，
令，则只需 又∵，∴
∴，当且仅当时等式成立.
∴的取值范围是.
22．（1）由已知，即，，
，∴.
（2）设，直线的方程为，即.
由（1）知，∴椭圆
由，即，
，.
∵，，
即，，，
从而，解得，∴椭圆的方程为.