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- 2024-04-14 发布
湖南省衡阳县四中2020届高三寒假延长作业
文科数学试卷
一、 选择题
1.已知集合，则（ ）
A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}
2.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l α，mβ，则（ ）
A．若α∥β，则l∥m B．若m∥α，则α∥β
C．若m⊥α，则α⊥β D．若α⊥β，则l⊥m
4.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2 000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．10 D．
5.若点在角的终边上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知向量满足，且则向量与的夹角的余弦值为 （ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图像由函数的图像经如下变换得到：先将的图像向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数的对称轴方程为（ ）
A． B．，
C．， D．，
9.已知是双曲线的左,右焦点,点M在E上,与轴垂直,,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
10.公元年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为( )
(参考数据: ,,,)
A. B. C. D.
11.函数的部分图像大致为( )
A. B. C. D.
12.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13.某市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年全国高中数学联赛,他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,则的值为___________.
14.已知正项数列满足,其中,，则___________
15.的内角的对边分别为.已知,,则的面积为___________.
16.已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线交拋物线于两点,过点作准线的垂线,垂足为,当点坐标为时, 为正三角形,则此时的面积为__________.
三、解答题
17.数列中，，，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18.某中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者中选拔出节目主持人,现按身高分组,得到的频率分布表如图所示.
(1).请补充频率分布表中空白位置相应数据,再完成下列频率分布直方图;
(2).为选拔出主持人,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?
(2).在2的前提下,主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵,求第3组至少有一人被抽取的概率?
19.如图所示，四边形ABCD是矩形， ABE, ，F为CE上的点，且平面ACE，AC与BD交于点G。
（1）求证：平面BCE
（2）求证：AE//平面BFD
（3）求三棱锥的体积
20.已知椭圆的左右焦点分别为,, 离心率为, 椭圆C上的点到点, 的距离之和等于4．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21.已知函数．
（1） 若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对于任意的正数恒成立，求实数a的值；
（3）若函数存在两个极值点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)，求实数a的取值范围
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.
(1).求的普通方程和的直角坐标方程；
(2).若曲线与交于两点,的中点为,点,求 的值.
23.设函数.
(1).若，求不等式的解集；
(2).若不等式存在实数解，求实数的取值范围.
参考答案
1.答案：B
解析：，故，综上所述，答案为
2.答案：D
3.答案：C
4.答案：B
5.答案：B
解析：由题意，，
．
6.答案：C
7.答案：D
解析：∵函数，
①若，则，即有，即，
则；
②若，则，即有，即，
，则.
故解集为.
故选D.
8.答案：A
9.答案：A
解析：因为垂直于x轴,所以,,
因为,即,
化简得,故双曲线离心率.选A.
10.答案：B
解析：第一次循环, ;
第二次循环, ;
第三次循环, ,满足条件,跳出循环.输出.
11.答案：D
解析：当时, ,故排除A,C,
当时, ,故排除B,满足条件的只有D,故选D.
12.答案：B
解析：设则，
∵.
所以函数是R上的减函数，
∵函数是偶函数，
∴函数，
∴函数关于对称，
∴，
原不等式等价为，
∴不等式等价，
.∵在R上单调递减，
∴.故选：B.
13.答案：5
解析：甲班学生成绩的中位数是,解得.由茎叶图可知乙班学生的总分为.∵乙班学生成绩的平均数是86,∴,∴.∴.
14.答案：
解析：正项数列满足
其中，
∴,
相减可得：
可得:
∴数列是公差为1的等差数列，
∴
15.答案：
解析：∵,
∴由正弦定理得.
又,∴.
由余弦定理得,
∴,
∴.
16.答案：
解析：如图所示,过点作的垂线,垂足为,则为的中点,
由题意知, ,则,解得
所以,则,所以,
直线的方程为: ,
联立方程组得,
解得,,
所以
17.答案：（1）由，即．
而， ∴，即．
又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是，∴
（2）∵，
∴
∴
.
18.答案：1.第二组的频数为,故第三组的频数为,故第三组的频率为,第五组的频率为,补全后频率分布表为:
组号
分组
频数
频率
第1组
5
0.05
第2组
35
0.35
第3组
30
0.3
第4组
20
0.2
第5组
10
0.1
合计
100
1
频率分布直方图为:
(2).第三组、第四组、第五组的频率之比,故第三组、第四组、第五组抽取的人数分别为.
(3).设第三组中抽取的三人为,第四组中抽取的两人为,第五组中抽取的一人为,则6人中任意抽取两人,所有的基本事件如下:
,
故第三组中至少有1人被抽取的概率为.
19.答案：（1）∵平面ABE,AD//BC
∴平面
∵平面
∴
又∵平面
∴
又∵，平面
∴平面
（2）依题意可知：G是AC中点
由平面ACE知，而
∴F是EC中点
∴在中，FG//AE
又∵平面，平面
∴AE//平面
（3）∵AE//平面BFD
∴AE//FG,而平面BCE,
∴平面BCE，即平面BCF
∵G是AC中点，F是CE中点
∴FG//AE且
又知在中，，
∴
∴
20.答案：（1）法一：由题意得：，故椭圆的标准方程为
法二：由题意得；又由离心率公式得：
故椭圆的标准方程为
（法一）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为
代入椭圆的方程得．
设两点的坐标分别为，
所以所以，
且，
因为，即，
所以．
即．
所以，解得．
又因为，所以．
所以存在直线满足条件，其方程为．
（法二）设直线的参数方程为为参数）代入椭圆方程
得：
由韦达定理得：
由题意，于是得 或 （舍）
所以存在直线满足条件，其方程为
21.答案：（1） 因为，
所以当时，，
则，
当时，，
所以在处的切线方程为.
(2) 因为对于任意的正数恒成立，
所以当时，即时，，；
当时，即时，恒成立，所以；
当时，即时，恒成立，所以，
综上可知，对于任意的正数恒成立，.
(3) 因为函数存在两个极值点，
所以存在两个不相等的零点．
设，
则.
当时，，
所以单调递增，至多一个零点．
当时，因为时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以时，.
因为存在两个不相等的零点，
所以，解得.
因为，所以.
因为，
所以在上存在一个零点.
因为，
所以.
又因为，
设，则，
因为，
所以单调递减，
所以，
所以，
所以在上存在一个零点．
综上可知：.
22.答案：(1).曲线的普通方程为.
由，，得曲线的直角坐标方程为.
(2).将两圆的方程与作差得直线的方程为.
点在直线上，设直线的参数方程为(为参数)
代入化简得，所以，.
因为点对应的参数为，
所以
23.答案：(1).若，由，得，
即，即，
得，解得.
故不等式的解集是
(2).“不等式存在实数解”等价于“不等式存在实数解”.
因为，
所以，即或，解得或.
故实数a的取值范围是