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- 2024-04-14 发布
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山东省临沂市2017-2018学年高二下学期期中联考数学（理）试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．若是虚数单位，则复数的虚部等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部.
详解：由题意，复数，
所以复数的虚部为，故选B.
点睛：本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算，其中正确运算复数的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2．的展开式中，常数项等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第项，令的指数为即可求得常数项。
详解：展开式的通项公式为
令，解得
常数项为
故选
点睛：本题主要的考点是二项式系数的性质。运用二项式展开式的通项表示出项，令的指数为即可，本题属于常考题型，运用固定方法进行求解。
3．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是（ ）
A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 合情推理
【答案】C
【解析】分析：根据演绎推理的概念，即可作出判断.
详解：演绎推理：就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题中所给的这种推理符合演绎推理的形式，
故选C.
点睛：本题主要考查了演绎推理的定义，是一个基础题，这种题目可以单独出现，但是单独考查了的概率不大，通过这个题考生要掌握击中推理的特点，学会选择.
4．某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人在班会上发言介绍学习经验，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的发言顺序有（ ）
A. 18种 B. 12种 C. 432种 D. 288种
【答案】D
【解析】分析：要从6人中选出4人，而且还要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么需要进行分类讨论，一是甲、乙、丙三人中有两人参加，再从剩下3人选出2人；二是甲、乙、丙三人都参加，再从剩下3人选出1人
详解：由题意可得，
故选
点睛：本题考查了排列组合问题中的选人问题，依据题目要求需要进行分类讨论，运用公式进行求解，运用组合先选出不同的人，再运用排列进行全排列确定不同的顺序。
5．若纯虚数满足,其中,是虚数单位，则实数的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】分析：是纯虚数，不妨令，代入后对应项系数相等，求出实数的值
详解：因为是纯虚数，不妨令，
则，可得，
，
故选
点睛：本题考查了复数的实部与虚部以及纯虚数，需要掌握基本定义，按照题意来解题，运用复数的乘法运算求出结果，结合对应项系数相等求出实数的值
6．若函数在取得极值，则函数的单调递减区间是（ ）
A. 和 B. C. 和 D.
【答案】C
【解析】分析：先求出函数的导函数，由条件在取得极值算出的值，再利用导数性质求出函数的单调递减区间
详解：已知，定义域为
则，
在取得极值，
,解得，
故，令，解得，
结合定义域可得函数的单调递减区间是和，
故选
点睛：本题考查了运用导数求原函数的单调区间，先运用商的形式求出导数，结合题目条件求出参量的值，继而给出单调减区间，这里需要注意定义域
7．在等差数列中，如果，且，那么必有，类比该结论，在等比数列中, 如果，且，那么必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.
详解：由题意，类比上述性质：在等比数列中，
则由“如果，且”，则必有“”成立，故选D.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.
8．
若一条曲线上任意一点处的切线的斜率均为正数，则称该曲线为“升曲线”.已知函数定义域为R，且满足，则下列曲线中是“升曲线”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：按照题目给出的定义，分别求出选项中的导数，判定其结果的正负来确定正确答案
详解：对于，，当时，，不符合题意
对于，，无法确定其符号，故排除
对于，，无法确定其符号，故排除
对于，，恒成立
故选
点睛：本题主要考查了新定义下的导数运用，由新定义来确定导函数的符号，按法则求各函数的导函数是本题的解题关键。
9．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，不等式的左边增加的项数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：运用数学归纳法，分别给出和时的表达式，来确定增加项。
详解：当时，可得：
当时，可得：
则
故增加项，
故选
点睛：本题主要考查的知识点是运用数学归纳法在证明时求出增加项数。只需要给出表达式进行计算即可。本题较为简单，需要注意的是通项的表达形式。
10．已知函数，若方程有两个相异实根，且，则实数
的值等于（ ）
A. 或 B. C. D. 0
【答案】C
【解析】分析：方程有两个相异实根，则有两个不同交点，令，求导后看图有两个交点，根据确定出实数的值
详解：由题意可得：有两个不同交点
令，
当时，，递增
当时，，递减
当时，，递增，
则当时，，可得，，，舍去
当时，，可得，，，符合题意，故
故选
点睛：本题主要考查的知识点是导数的运用。在解答过程中，采用了分离参量，转化为函数图像的交点问题，再利用导数求出函数的单调性，结合题意求出实数的值，本题也可以不分离参量进行求解。
11．已知，则的展开式中，项的系数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：通过计算先求出的值，再由展开式求系数
详解：
则的展开式中含项的系数为
故选
点睛：本题是一道关于二项式定理的题目，熟练掌握二项式定理的通项公式是解答本题的关键，将先看作系数，求出，然后再次展开求的系数，即可得到答案。
12．若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由直线与曲线相切，可以表示出的值，然后用导数求出的最小值
详解：由题意可得，设切点坐标为
，，则
则，令
，
时，，递减
时，，递增
的最小值为
故选
点睛：本题主要考查了运用导数的几何意义来求相切情况，在解答多元问题时，要将其转化为单元问题，本题在求解中转化为关于变量的最值，利用导数即可求出最小值。
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．若是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应点的坐标为________.
【答案】.
【解析】分析：由复数的运算法则，求得，即可得到复数在复平面对应的点的坐标.
详解：由题意，复数满足，所以，
所以复数对应的点的坐标为.
点睛：本题主要考查了复数的运算及复数的表示，其中利用复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
14．观察下列各式：，，，，由此可猜想，若，则__________.
【答案】.
【解析】分析：观察下列式子，右边分母组成以为首项，为公差的对称数列，分子组成以为首项，以为公差的等差数列，即可得到答案.
详解：由题意，，，，
可得，
所以.
点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察给定的式子，发现其运算的相同性或运算规律，（2）从已知的相同性或运算规律中推出一个明企鹅的一般性的题，着重考查了考生的推理与论证能力.
15．在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去三个不同的新节目，且插进的三个新节目按顺序出场，那么共有__________种不同的插入方法(用数字作答)．
【答案】165.
【解析】分析：运用插空法，分别取出个，个，个空来放置，然后再用组合计算答案即可。
详解：①选出个空有种方法
②选出个空有种方法
③选出个空有种方法
综上有种
故共有种不同的插入方法
点睛：本题主要考查了计数原理，运用了插空法选取不同的空来安排，注意在选取个空时有两种方法，运用组合原理求解，计算出和，即可得到答案。
16．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________.
【答案】.
【解析】试题分析：，若函数存在单调递减区间，即定义域内存在区间使，等价于的最大值，设，，可知，函数在区间为增函数，在区间为减函数，所以当时，函数取得最大值，此时，所以，故填：.
考点：导数与函数的单调性
【方法点睛】本题考查导数与函数单调性的问题，属于中档题型，对于存在单调区间，或是恒为单调，这样的问题，第一步求导以后，第二步，选择参变分离后，转化为存在区间使，所以，或是，即，或是定义域内的任意值使恒成立，所以，恒成立，即.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知是虚数单位，复数的共轭复数是，且满足.
（I）求复数的模；
（II）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】分析：（I）设复数，则，由题意得，再根据复数相等即可求解.
（II）由（I）化简得，再由复数在复平面内对应的点在第一象限，列出方程组即可求解.
详解：（I）设复数，则，
于是，即，
所以，解得，故.
（II）由（I）得，
由于复数在复平面内对应的点在第一象限，
所以，解得.
点睛：本题主要考查了复数的运算，以及复数相等和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的基本概念和复数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
18．）已知.
（I）试猜想与的大小关系；
（II）证明（I）中你的结论.
【答案】(1).
(2)证明见解析.
【解析】分析：（I）由题意，可取，则，，即可猜想；
（II）令，则，得到函数的单调性，利用单调性即可证明猜想.
详解：（I）取，则，，则有；
再取，则，，则有.
故猜想.
（II）令，则，当时，，
即函数在上单调递减，
又因为，所以，
即，
故.
点睛：本题主要考查了归纳猜想和利用函数的单调性证明不等关系式，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理论证能力.
19．若的展开式中第3项的系数是第5项的系数的4倍.
（I）求的值；
（II）若，求的值.
【答案】(1).
(2).
【解析】分析：运用二项式展开式通项分别算出第项的系数和第项的系数，利用数量关系求出的值将代入，分别令，令，即可求出结果
详解：展开式的通项，.
因此第项的系数是
第项的系数
于是有
整理得，解得
（II）由（I）知.
令，即，得，
令，即，得，
两式相加得，
故
点睛：本题考查了二项式系数的求法，通常情况运用公式求出展开式的通项，求出系数然后根据题意求出结果，在第二问中求值时的方法是特殊值代入，利用数量关系求出结果，本题难度适中，掌握方法是关键。
20．已知函数的图像在处的切线方程为.
（I）求实数的值；
（II）若函数，求在上的极值.
【答案】(1)；.
(2)在取得极小值，无极大值.
【解析】分析：先求出，由题意，求出的值，从而计算出
，求出的值求出，求导，利用单调性求出极值
详解：（I）因为所以.
于是由题知，解得.
因此，而，于是，解得.
（II）由（I）得，所以，
令得，
当变化时，的变化情况如下：
1
0
递减
极小值
递增
所以在取得极小值，无极大值.
点睛：本题较为基础，考查了导数的基本运算，求导后结合导数的几何意义，与曲线相切求出参量的值，要求极值，只需要求导后判定原函数的增减性即可，掌握解题方法，熟悉基本知识和技能。
21．已知数列的前项和为，且满足.
（I）求证：是等比数列；
（II）求证：不是等比数列.
【答案】(1) 证明见解析.
(2)证明见解析.
【解析】分析：（I）由，则时，，两式相减，化简得到
，即可得到数理是公比为的等比数列；
（II）(方法一)由（I）知是等比数列，所以，于是，解得，即可得到数列不是等比数列.
(方法二) 由（I）得，因此，求得于是假设是等比数列，则有，解得，即可得不是等比数列.
详解：（I）因为，所以当时，
两式相减得，
即，
因此，
故是公比为的等比数列.
（II）(方法一)假设是等比数列，则有，
即.
由（I）知是等比数列，所以，
于是，即，解得，
这与是等比数列相矛盾，
故假设错误，即不是等比数列.
(方法二) 由（I）知，所以，因此.
于是，
假设是等比数列，则有，
即，解得，
这与相矛盾，
故假设错误，即不是等比数列.
点睛：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等比数列的定义及通项公式的应用，其中根据数列的递推关系式，利用等比数列的定义得到等比数列是解答的关键，其次注意数列不是等比数列的证明方法是解答的难点，着重考查了推理与论证能力.
22．已知函数
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是.
(2).
【解析】分析：将代入，求出的解析式，求出，求单调区间求出的单调性，将绝对值去掉后得，构造新函数，这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数的取值范围
详解：（I）当时，，定义域为.
.
令得，解得，令得，解得，
因此的单调递增区间是，单调递减区间是.
（II）不妨设.
因为，所以，因此在上单调递增，即.
又因为在上也单调递增，所以.
所以不等式即为，
即，
设，即，
则，因此在上单调递减.
于是在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
即在上单调递增，因此在上的最小值为，
所以，
故实数的取值范围是.
点睛：本题是道典型的含有绝对值的导数题目，其方法是先求出绝对值内函数的单调性，根据单调性去掉绝对值，给出不等式，然后构造出新函数，这样就知道了新函数的单调性，接着分类含参量，利用导数求出最值或者范围。