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- 2024-04-14 发布
长阳一中2019-2020学年度秋季学期入学考试
高二数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、集合A={﹣1，0，1，2，3}，B=，则A∩B等于（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}
2、设i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3、如图是某校园十大歌手比赛上五位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图，但部分数据备墨迹遮住，据一位工作人员回忆，甲、乙两名选手得分的平均数相同，则被遮住的数字为（ ）
A、8 B、7 C、6 D、5
4、已知等比数列的前项和为，且，，则等于（）
A、 B、 C、 D、
5、已知平面向量 ，，且与的夹角等于与的夹角，则=（ ）
A．2 B．1 C． D．
6、若l，m是平面外的两条不同的直线，且，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7、某人打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7,8,9中的一个数字，第四位是1,2,3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是（）
A． B． C． D．
8、已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称，则（）
A． B． C． D．
9、已知奇函数是上的减函数，，，，则（）
A． B． C． D．
10、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的等边三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为（ ）
A、 B、 C、 D、
11、如图所示，在四边形中，，.将四边形 沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论中正确的结论个数是（ ）
①；
②；
③与平面所成的角为；
④四面体的体积为.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
12、对任意实数a，b定义运算“”；，设，若函数至少有两个零点，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）
13、已知，则的值为 .
14、已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，则使得最大时的值为 ．
15、广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：
广告费x
2
3
4
5
6
销售额y
29
41
50
59
71
由表可得到回归方程为，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为 .
16、已知函数 ．若，使，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）在中，三个内角的对边为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
18、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，数列中，，点在直线上.
（1）求数列、的通项公式；
（2）记，求.
19、（本小题满分12分）两个同乡大学生携手回乡创业，他们引进某种果树在家乡进行种植试验．他们分别在五种不同的试验田中种植了这种果树100株并记录了五种不同的试验田中果树的死亡数，得到如下数据：
试验田
试验田1
试验田2
试验田3
试验田4
试验田5
死亡数
23
32
24
29
17
（Ⅰ）求这五种不同的试验田中果树的平均死亡数；
（Ⅱ）从五种不同的试验田中随机取两种试验田的果树死亡数，记为x，y，用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求的概率．
20、（本题满分12分）函数的部分图象如图所示．
(Ⅰ)求的解析式；
(Ⅱ)将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得函数的图象，求的解析式及其单调增区间；
（Ⅲ）
21、（本题满分12分）如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且，是的中点.
（1）求证:平面；
（2）求证：平面；
（3）求几何体的体积.
22．（本小题满分12分）已知，函数满足．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求的值；
（Ⅲ）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围
长阳一中2019-2020学年度秋季学期入学考试
高二数学答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
D
A
A
C
C
B
D
D
B
A
二、填空题
13、 14、20 15、111.2 16、
三、解答题
17、解：(1) 由正弦定理可得
因为在中， 即
（2） ，由余弦定理，得
，当且仅当时，取得最大值为12
18、
19、解：（Ⅰ）由题意，这5种试验田果树的的平均死亡数为：
……………………………………………………2分
（Ⅱ）（x，y）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17）…………………4分
基本事件总数n=10………………………………………………………………5分
设满足的事件为A，则事件A包含的基本事件为：
（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3个， ∴…………8分
设满足的事件为B，则事件B包含的基本事件为：
（23，24），（32，29），共有个， ∴……………………10分
∴的概率…………12分
20、解析： (Ⅰ)由图得：T＝π－＝π＝π，∴T＝2π，∴ω＝＝1.
又f(π)＝0，得：Asin(π＋φ)＝0，∴π＋φ＝2kπ，φ＝2kπ－π，
∵0<φ<，∴当k＝1时，φ＝.又由f(0)＝2，得：Asinφ＝2，A＝4，∴f(x)＝4sin(x＋)． （4分）
(Ⅱ)将f(x)＝4 sin(x＋)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到y＝4sin(2x＋)，再将图象向右平移个单位得到g(x)＝4sin[2(x－)＋]＝4sin(2x－)，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得：kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)． （8分）
(Ⅲ)y＝f(x＋)－f(x＋)＝4sin[(x＋)＋]－×4sin[(x＋)＋]＝4sin(x＋)－4sin(x＋)
＝4(sinx·cos＋cosx·sin)－4cosx
＝2sinx＋2cosx－4cosx＝2sinx－2cosx＝4sin(x－)．
∵x∈[－，π]，x－∈[－π，]，∴sin(x－)∈[－1，]，
∴函数的最小值为－4，最大值为2. （12分）
22．解：（Ⅰ）由题意可得，得，解得…………2分
（Ⅱ）方程有且仅有一解，等价于有且仅有一解，且………………4分
当时，符合题意；
当时，此时满足题意
综上，或…………………………………………………………6分
（Ⅲ）当时，，
所以在上单调递减
函数在区间上的最大值与最小值分别为，，
即对任意恒成立……………………………8分
因为，所以函数在区间上单调递增，
所以时，y有最小值，
由，得
故a的取值范围为………………………………………………12分