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- 2024-04-14 发布
河南省郑州一中2020届高三名校联考
数学(理科)
(本试卷考试时间120分钟,满分150分)
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效.
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式:
锥体的体积公式:(其中S为锥体的底面积,h为锥体的高).
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位,是复数的共轭复数,若,则( )
A. B. C. D.
2.设集合,,则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
3.某科研型企业,每年都对应聘入围的大学生进行体检,其中一项重要指标就是身高与体重比,其中每年入围大学生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)基本都具有线性相关关系,根据今年的一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为,则下列结论中不正确的是( )
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心
C.若某应聘大学生身高增加1cm,则其体重约增加0.83kg
D.若某应聘大学生身高为170cm,则可断定其体重必为55.39kg
4.“”是“直线与圆相切”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知向量,,若向量,的夹角为锐角,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.设函数,,若,则方程的所有根之和为( )
A. B. C. D.
7.若对任意正数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识,每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生,自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤,2人被分配到医院附近路口执勤,2人被分配到中心市场附近路口执勤,如果分配去向是随机的,则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是( )
A. B. C. D.
9.已知函数,其中表示不大于x的最大整数(如,),则函数的零点个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知过双曲线的左焦点F的直线与双曲线左支交于点A,B,过原点与弦中点D的直线交直线于点E,若为等腰直角三角形,则直线的方程可以为( )
A. B.
C. D.
11.设,分别为等差数列,的前n项和,且.设点A是直线外一点,点P是
直线上一点,且,则实数的取值为( )
A. B. C. D.
12.《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为:.弧田(如图1阴影部分)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图2)近似体积公式.球缺是指一个球被平面截下的一部分,厦门嘉庚体育馆近似球缺结构,若该体育馆占地面积约为,建筑容积约为,估计体育馆建筑高度(单位:m)所在区间为( )
参考数据:,,,,.
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若x,y满足线性约束条件,则的最大值为_______________.
14.过抛物线的焦点F的直线被F分成长度为m,n的两段,请写出一个m,n满足的等量关系式_________________.
15.习近平同志提出:乡村振兴,人才是关键.要积极培养本土人才,鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日,人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出,要贯彻落实党中央、国务院的决策部署,进一步推动返乡入乡创业,以创新带动创业,以创业带动就业,促进农村一、二、三产业融合发展,实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业,某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列(单位:万元),每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金(万元)的3倍,已知
,则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_______________万元.
16.函数,若,则在的最小值为____________;当时,恒成立,则a的取值范围是________________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)在平面中,四边形满足,,,,的面积为4.
(1)求的长;
(2)求的面积.
18.(12分)人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等,非物质文化遗产蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素,是全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国,有39个项目入选,总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户,有7项人选,每年都有大批的游客前来参观学习,同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2019年春节期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表:
购买金额(元)
购买人数
10
15
20
15
20
10
(1)根据以上数据完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.
不少于60元
少于60元
总计
年龄大于50
40
龄小于50
18
总计
(2)为吸引游客,超市推出一种优惠方案,举行购买特产,抽奖赢取非物质文化遗产体验及返现的活动,凡是购买金额不少于60元可抽奖三次,每次中奖概率为P(每次抽奖互不影响,且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),每中奖一次体验1次,同时减免5元;每中奖两次体验2次,减免10元,每中奖三次体验2次,减免15元,若游客甲计划购买80元的土特产,请列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期望.
附参考公式和数据:,.
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
19.(12分)如图,已知五面体中,四边形为等腰梯形,,,且,,,平面平面.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值.
20.(12分)已知圆,点,P是圆C上一动点,若线段的垂直平分线和相交于点M.
(1)求点M的轨迹方程E.
(2)已知直线交曲线E于A,B两点.
①若射线交椭圆于点Q,求面积的最大值;
②若,垂直于点D,求点D的轨迹方程.
21.(12分)已知函数.
(1)判断函数的单调性;
(2)若方程有两个不同的根,求实数a的取值范围;
(3)如果,且,求证:.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.【选修4-4:坐标系与参数方程】(10分)
在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线C和直线的一般方程;
(2)已知点,直线和曲线C交于A,B两点,若,求直线的一般方程.
23.【选修4-5:不等式选讲】(10分)
已知函数.
(1)若,求不等式的解集;
(2)若关于x的不等式恒成立,求实数m的取值范围.
数学(理科)参考答案
1.解析:,.
答案:B
2.解析:,,所以,.
答案:C
3.解析:由于线性回归方程中x的系数为0.83,因此y与x具有正的线性相关关系,故A正确;又线性回归方程必过样本中心点,故B正确;由线性回归方程中系数的意义知,x每增加1cm,其体重约增加0.83kg,故C正确;当某大学生的身高为170cm时,其体重估计值是55.39kg,而不是具体值,故D不正确.
答案:D
4.解析:若,则圆的圆心到直线的距离为,等于半径,此时直线与圆相切,即“”“直线与圆相切”;若直线与圆相切,则圆心到直线的距离为,解得或,即“”是“直线与圆相切”的不必要条件,所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选B.
答案:B
5.解析:因为,,所以..因为向量,的夹角为锐角,所以有,解得.又当向量,共线时,,所以实数m的取值范围为.
答案:C
6.解析:∵,,∴,又,∴方程有两根,,由对称性得,解得.
答案:D
7.解析:依题意得当时,恒成立,又因为,当且仅当时取等号,所以的最大值为,所以,解得a的取值范围为.
答案:B
8.解析:现把6名同学平均分配到三个不同的路口,共有种分配方案,甲、乙两人被分配到同一路口有种可能,所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为.
答案:A
9.解析:设且为偶函数,,当时,,两函数有一个交点,即个零点;当时,,作出图象(图略),两函数有一个交点,即一个零点;当时,,两函数有一个交点,即一个零点;当时,,,此时两函数有一个交点,即一个零点,共4个零点.
答案:D
10.解析:易知,则由题意可设,代入双曲线的方程,消去x,整理得.设,,由根与系数的关系,得,
∴,,即∴直线的方程为.令,得,即,∴直线的斜率为,∴,则必有,即,解得.又,∴,∴,从而直线的方程为或.故选A.
答案:A
1l.解析:不妨取,,当时,,当时,,验证得当时上式成立,综上,.
同理可得,则.
点P在直线上,设,,即,,故选B.
答案:B
12.解析:设体育馆建筑高度为,则,若,则;若,则;若,则,,∴,故选B.
答案:B
13.解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线,平移该直线,当直线经过点时,取得最大值,即.
答案:12
14.答案:(开放型答案,与其等价的均可)
15.解析:设等差数列的公差为d,则该镇政府帮扶5年累计总投入
,当且仅当时等号成立.
故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元.
答案:200
16.解析:当时,∵,∴.
当时,恒成立,∴在上单调递增.
∴在上最小值为.又时,恒成立,
∴,
∴.
答案:
17.解:(1)由已知,
可得,.……………………………………2分
又,所以,.……………………………………3分
所以.………………………………4分
在中,由余弦定理,可得,
所以.……………………………………6分
(2)由(1)可得:,所以,故.…………7分
由,得,所以,.……………………8分
又,所以,
所以为等腰三角形,即.…………………………………………9分
在中,过顶点D作的垂线,垂足为E.在直角三角形中由正弦定理可求得,.………………………………11分
所以.……………………………………12分
18.解:(1)2×2列联表如下:
不少于60元
少于60元
总计
年龄大于50
12
40
52
龄小于50
18
20
38
总计
30
60
90
,.………………………………4分
因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.………………5分
(2)X的可能取值为65,70,75,80,且.………………………………6分
,.…………………………………………7分
,.…………………………………………8分
,.……………………………………9分
.……………………………………10分
X的分布列为
65
70
75
80
.………………………………12分
19.解:(1)证明:取中点M,连接,,因为四边形为等腰梯形,,,所以,,所以四边形为平行四边形,所以,三角形为等边三角形,所以,,,,又因为平面,平面平面,平面平面,所以平面,因为平面,所以,又因为,,平面,平面,所以平面,又因为平面,所以.…………5分
(2)据(1)可建立如图所示的空间直角坐标系,所以可求得,,,.……………………6分
则,,.
设向量为平面的法向量,
则,即,
所以令,则法向量=;.…………………………8分
设向量为平面的法向量,则,即,……10分
令,解得法向量,所以,.……………………11分
又二面角的平面角为钝角,
所以二面角的余弦值为.………………………………12分
20.解:(1)∵,∴点G在圆C内.
又∵点M在线段的垂直平分线上,
∴,∴.
由椭圆的定义知,点M的轨迹是以G,C为焦点的椭圆,其中,,,
∴点M的轨迹方程为.…………………………4分
(2)①当所在直线斜率存在时,设所在直线方程为,由,得,同理,,∴,即Q到直线的距离是点O到直线距离的3倍.……………………5分
设,,联立,得.
由得,且,,
则,
O到直线的距离,
∴.
当且仅当,即时等号成立.
故面积的最大值为.
当所在直线斜率不存在时,假设,则,的方程为(其中).
联立,得,则.
∴.其他情况同理可得.
综上,面积的最大值为3.……………………………………8分
②∵,∴,∴,即.
解得,又,
∴点D的轨迹是以O为圆心,半径为的圆(去掉x轴上的两个点),.………………11分
故点D的轨迹方程为.…………………………12分
21.解:(1)因为,所以,.…………………………1分
可得函数在上单调递增,在上单调递减.……………………3分
(2)由第一问可得函数在处取得最大值,
,
所以函数的图象大致如下:
.………………………………4分
易知函数的值域为.………………………………6分
因为方程有两个不同的根,
所以,即,,解得.
即实数a的取值范围为.……………………………………8分
(3)证明:由,,不妨设,
构造函数,,.………………………………9分
则,
所以在上单调递增,,
也即对恒成立.
由,则,
所以,.…………………………10分
即,又因为,,且在上单调递减,所以,
即证.
即.…………………………12分
22.解:(1)曲线C的一般方程为.…………………………1分
当时,的直角坐标方程为;.……………………3分
当时,的直角坐标方程为.………………………………4分
(2)将的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程
,设A,B对应的参数为,,
则,.…………………………6分
∴,解得.……………………8分
于是直线的方程为或.……………………10分
23.解:(1)当时,.…………………………2分
当时,由,得,解得;.………………3分
当时,由,得,解得;.……………………4分
当时,,无解.…………………………5分
所以的解集为.…………………………6分
(2),当且仅当时等号成立,.…………7分
故恒成立等价于恒成立,由可得或,
所以m的取值范围是.…………………………10分