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- 2024-04-13 发布
石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷
高三数学（文）
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A． B． C． D．
3．设数列是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图所示，已知正方形的边长为，点从点出发，按字母顺序沿线段，，运动到点，在此过程中的最大值是( )
A． B． C． D．
5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )
A． B．
C． D．
6．函数，的部分图象如图所示，则的值分别是( )
A． B． C． D．
7．已知抛物线的动弦的中点的横坐标为，则的最大值为( )
A． B． C． D．
8．将数字，，，，，书写在每一个骰子的六个表面上，做成枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图和所示的两个柱体，则柱体和的表面（不含地面）数字之和分别是( )
A
B
A． B． C． D．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．双曲线的焦距是________，渐近线方程是________．
10．若变量满足约束条件
则的最大值等于_______．
11．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著
《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为14，20，则输出的＝______．
12．设，，，则的大小关系是________．(从小到大排列)
13．已知函数若直线与函数的图象只有一个交点，则实数的取值范围是____________．
14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
第7题
第8题
得分
甲
×
×
√
×
×
√
×
√
5
乙
×
√
×
×
√
×
√
×
5
丙
√
×
√
√
√
×
×
×
6
丁
√
×
×
×
√
×
×
×
？
丁得了_______________分．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知在等比数列中，，且是和的等差中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．
16．（本小题共13分）
设△的内角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求，的值．
17．（本小题共13分）
交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵．晚高峰时段()，从某市交通指挥中心选取了市区个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．
（Ⅰ）求出轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵路段各有多少个；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从交通指数在，，的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少1个路段为轻度拥堵的概率．
18．（本小题共14分）
如图，在直四棱柱中，，，点是棱上一点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）试确定点的位置，使得
平面⊥平面．
19．（本小题共14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）当时，方程无解，求的取值范围．
20．（本小题共13分）
在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设动点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于两点．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）△的面积是否存在最大值？若存在，求出此时△的面积；若不存在，说明理由．
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试
高三数学（文）参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
A
C
A
B
A
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
，
(第9题第一空2分， 第二空3分)
三、解答题共6小题，共80分．
15．（本小题共13分）
解: （Ⅰ）设公比为，则，， …………1分
∵是和的等差中项，
∴，， ……………3分
解得或（舍）， ……………5分
∴． .……………6分
（Ⅱ），
则． .……………13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ），由正弦定理得，
.……………2分
在△中，，即， ……………4分
． .……………6分
（Ⅱ） ，由正弦定理得， .……………8分
由余弦定理，得，
.……………10分
解得，∴． .……………13分
17．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由直方图可知：
，，．
所以这个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为个，个，个．
.……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拥堵路段共有个，按分层抽样从个路段中选出个，每种情况分别为：，，，即这三个级别路段中分别抽取的个数为，，． .……………8分
（Ⅲ）记（Ⅱ）中选取的个轻度拥堵路段为，选取的个中度拥堵路段为，选取的个严重拥堵路段为，
则从个路段选取个路段的可能情况如下：
，， ，，， ， ， ，，，，，，，共种可能，
其中至少有个轻度拥堵的有：，， ，，， ， ， ，共种可能.
∴所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为． .……………13分
18．（本小题共14分）
解:（Ⅰ）证明：由直四棱柱，
得∥，，
∴是平行四边形，∴∥ ..……………2分
∵平面，平面，
∴∥平面 ..……………4分
（Ⅱ）证明：∵平面，平面，∴.
又∵，且，
∴平面. .……………7分
∵平面，∴. .……………9分
（Ⅲ）当点为棱的中点时，平面平面. ……………10分
证明如下：
取的中点，的中点，连接交于，连接，如图所示．
∵是的中点，，
∴.
又∵是平面与平面的交线，
平面⊥平面，
∴平面 ..……………12分
由题意可得是的中点，
∴∥且，
即四边形是平行四边形．
∴∥.
∴平面.
∵平面，∴平面⊥平面 .……………14分
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ），
令解得，
易知在上单调递减，在上单调递增，
故当时，有极小值 ...……………4分
（Ⅱ）令，则， ...……………5分
由（Ⅰ）知，
所以在上单调递增，
所以，
所以. ..……………8分
（Ⅲ）方程，整理得，
当时，. ...……………9分
令，
则， ...……………10分
令，解得，
易得在上单调递减，在上单调递增，
所以时，有最小值， ...……………12分
而当越来越靠近时，的值越来越大，
又当，方程无解，
所以. ...……………14分
20．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹是以点，为焦点，长半轴长为的椭圆，故曲线的方程为. ...……………3分
（Ⅱ）存在△面积的最大值． ...……………4分
因为直线过点，
所以可设直线的方程为或(舍)．
由条件得整理得，
.
设，其中.
解得，， ...……………7分
则，
则
...……………10分
设，则，
则在区间上为增函数，所以.
所以，当且仅当时等号成立，即.
所以的最大值为. ....……………13分
【注：若有其它解法，请酌情给分】