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- 2024-04-12 发布
江苏省“七校联盟”2018-2019学年度第一学期期中联合测试
高二数学试题（盐城卷）
（考试时间：120分钟，总分160分）
命题人：花 梅 审核人：冯小飞
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、班级、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
参考公式：样本数据的方差s2=，其中=
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1、命题“，”的否定是 ▲ .
2、抛物线的焦点坐标为 ▲ ．
3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,8，则该组数据的方差为 ▲ ．
While <10
End While
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4、已知 ,则“成立”是“成立”的 ▲ 条件．（请在“充分不必要、必要不充分、充分必要”中选择一个合适的填空）．
5、右图给出的伪代码运行结果是 ▲ .
6、焦点在轴上的椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是 ▲ .
7、某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，
则A，B两名老师都被选中的概率是 ▲ ．
8、设z＝2x+y，其中x，y满足条件，则z的最大值为 ▲ ．
9、若正实数a，b满足，则的最小值为 ▲ ．
10、记函数 的定义域为D，在区间上随机取一个数x，则x D的概率是 ▲
11、经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为 ▲ ．
12、在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，为左准线，，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是 ▲ ．
13、若方程有实根，则实数的取值范围是 ▲ ．
14、已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、（本小题满分14分）
已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．
16、（本小题满分14分）
某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），
（1）求分数在[70，80）中的人数；
（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？
（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．
17、（本小题满分14分）
已知命题：二次函数在区间是增函数；命题：双曲线 的离心率的范围是.
（1）分别求命题“” 、命题“”均为真命题时m的取值范围.
（2）若“p且q” 是假命题，“p或q”是真命题，求实数的取值范围．
18、(本题满分16分)
设函数
（1）若不等式的解集为(-1,3),求a,b的值；
（2）若求 的最小值．
(3)若,求不等式的解集.
19、(本题满分16分）
如图，在C城周边有两条互相垂直的公路，在点O处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC＝4 km，OC与公路夹角为60°.现规划在公路上分别选择A，B两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C城，设OA＝x km，OB＝y km.
(1) 求出y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
(2) 试确定点A，B的位置，使△AOB的面积最小．
20、(本小题满分16分)
已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；
（3）求线段MN的长度的最小值
七校联盟2018-2019学年度第一学期期中联合测试
高二数学试题参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，）
1、命题“，”的否定是 .
2、抛物线的焦点坐标为 (0,1) ．
3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,8，则该组数据的方差为
While <10
End While
Print
4、已知 ,则“成立”是“成立”的 必要不充分 条件．（请在“充分必要、充分不必要、必要不充分”中选一个合适的填空）．
5、 右图给出的伪代码运行结果是 16 ．
6、焦点在轴上的椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是___5_____．
7、某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，
则A，B两名老师都被选中的概率是 ．
8、设z＝2x+y，其中x，y满足条件，则z的最大值为 6 ．
9、若正实数a，b满足，则的最小值为．
10、记函数 的定义域为D，在区间上随机取一个数x，则x D 的概率是
11、经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为
12、在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，
为左准线，，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是 ．
13、若方程有实根，则实数的取值范围是 ．
14、已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立， 则实数a的取值范围是 [－1，＋∞)．
解析：由题意得，当x∈[1，2]，且y∈[2，3]时，不等式xy≤ax2＋2y2，即a≥＝－2＝－2＋.在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，注意到可设为该区域内的点(x，y)与原点连线的斜率，结合图形可知，的取值范围是[1，3]，此时－2(－)2＋的最大值是－1，因此实数a的取值范围是a≥－1.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、（本小题满分14分）
已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．
解：（1）根据题意：，解得，.............4分
∴b2=a2﹣c2=4， .............6分
∴椭圆C的标准方程为； .............7分
（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2， .............10分
设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得， .............13分
解得：． ..............14分
16、（本小题满分14分）
某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），
（1）求分数在[70，80）中的人数；
（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人；
（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．
解：（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，
所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为：
1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，
∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人． ……………4分
（2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人，
分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，
用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，
抽取的5人中分数在[40，50）的人有： ……………8分
（3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，
用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，
抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为
，
分数在[50，60）的有3人，设为
，，
5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：
，，，，，，，， ，
分别在不同区间上有m=6种可能．，，，，，
所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率． …………… 14分．
17、（本小题满分14分）
已知命题：二次函数在区间是增函数；命题：双曲线的离心率的取值范围是，
（1）分别求命题“” 、命题“”均为真命题时m的取值范围.
（2）若“p且q” 是假命题，“p或q”是真命题，求实数的取值范围．
解：(1)对于：因为二次函数的对称轴为，由题意知，
若真，则； …………4分
对于：∵双曲线，∴（4-m）(m-1)>0,得
∴得，
故，即若真，则 ………………8分
(2)由题意知：，一真一假， ………………10分
若真假，则；
若假真，则；
综合得实数的取值范围为 ………………14分
18、（本小题满分16分）
设函数
（1）若不等式的解集为(-1,3),求a,b的值；
（2）若求 的最小值．
(3)若,求不等式的解集.
解 （1）由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)可得：方程的两根为且 .............2分
由根与系数的关系可得： .............4分
（2）若，则， .............5分
，
所以 ………………8分
的最小值为（当且仅当时式中等号成立）…………9分
(3) 当 ，不等式即
即 ……………………… 10分
①，不等式可化为，
原不等式的解集为 …………………… 12分
② ，原不等式可化为 []
∴当时，原不等式的解集为………………………………… 14分
当时，原不等式的解集为………………………………………… 15分
当时，原不等式的解集为…………………………………… 16分
19、(本题满分16分）
如图，在C城周边有两条互相垂直的公路，在点O处交汇，且它们的夹角为
90°. 已知OC＝4 km，OC与公路夹角为60°.现规划在公路上分别选择A，B两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C城，设OA＝x km，OB＝y km.
(1) 求出y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
(2) 试确定点A，B的位置，使△AOB的面积最小．
解：(1) ∵ S△AOC＋S△BOC＝S△AOB，
∴ x·4sin60°＋y·4sin30°＝xy， …………………4分
整理得y＝，…………………6分
过C作OB平行线与OA交于D，OA>OD，故x>2.定义域为{x|x>2}．…………………7分
(2) S△AOB＝xy＝，(x>2)，
S△AOB＝＝
＝.
∵ x－2>0，∴ x－2＋≥4，
当且仅当2＝4即x＝4时取等号．
所以当x＝4时，S△AOB有最小值为8.…………………15分
答：当OA＝4 km，OB＝4 km时，使△AOB的面积最小．…………………16分
20、(本小题满分16分)
已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；
（3）求线段MN的长度的最小值
解：（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为…………………4分
（Ⅱ）设
……………………9分
（Ⅲ）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率显然存在，且，
故可设直线的方程为，从而………………11分
由得0
设则得，从而
即又由得……13分
故又
当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值………16分
（Ⅲ）方法二：利用第2问结论设
………13分
故当且仅当时等号成立
即M,N的长度的最小值为……………16分