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- 2024-04-12 发布
2019学年高二数学下学期期末考试试题 理
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，
则( )
（A） （B）
（C） （D）
（2）若复数满足，其中为虚数单位，
则在复平面上复数对应的点的坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，
那么＝( )
（A） （B）
（C） （D）
（5）在射击训练中,某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”, 命题是“第二次射击击中目标”,则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”可表示为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）已知，，，则的大小关系为( )．
（A） （B） （C） （D）
（7）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）
（8）等差数列的前项的和等于前项的和，若，则（ ）
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（A） （B） （C） （D）
（9）已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）
（A）在区间上单调递减 （B）在区间上单调递增
（C）在区间上单调递减 （D）在区间上单调递增
（10）在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（11）设关于的不等式组表示的平面区域内存在点满足，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（12）定义在上的函数满足，，若，且，则有( )
（A） （B） （C） （D）不确定
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知直线与曲线相切，则的值为___________．
（14）已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为 ．
（15）设为等比数列的前n项和，则 ．
（16）已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为
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，，则球的表面积为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）在△中，分别为内角的对边，已知．
(Ⅰ) 求；
（Ⅱ）若，求△的面积．
（18） (本小题满分12分）某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：
2
5
8
9
11
12
10
8
8
7
（1）求出与的回归方程；
（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6，请用所求回归方程预测该店当日的营业额；
附: 回归方程中, ,.
（19） （本小题满分12分）下图为一简单组合体，其底面为正方形，平面
，，且，为线段的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
（20）（本小题满分12分）
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动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．
（21）（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的，．
请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知过点的直线的参数方程是（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．
(23)（本小题满分10分）（选修 4-5：不等式选讲）设函数
（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．
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高二数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
D
A
A
C
C
B
C
D
A
（1）解析：化简集合得，容易得到(1,2]，故选D．
（2）解析：z=，故选C.
（3）解析：
（4）解析：在△CEF中，＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D.
（5） 解析：解析：因为命题的是“第一次射击没有击中目标”， 是“第二次射击没有击中目标”,所以命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”可表示.故选A.
（6）解析：显然，，，，因此最大，最小，故选A.
（7）解析：双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，由题意有，所以，，故离心率.故选C．
（8）解析：因为，所以，即，于是，可知答案选C.另解：由已知直接求出.
（9）解析：依题 , ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴ ，，故选B
（10）解析：如图，由题意易知，因为，所以为异面直线与所成角，又，中，，
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，得为等腰直角三角形，故选C.
（11）解析：画出可行域，由题意只需要可行域的顶点在直线的下方即可，得到，解得.故选D.
（12）解析：由知函数的图像关于直线对称，又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减。因为，且，得 ，易知距离对称轴较近，其函数值较大。故选A。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）答案：
解析：根据题意，求得，从而求得切点为，该点在切线上，得，即.
(14)答案：
解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为
（15）答案：
解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得，代入所求式可知答案。
（16）答案：
解析：设平面截球所得球的小圆半径为,则,由错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。
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，所以球的表面积.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）解: (Ⅰ)方法一：……………3分
由得，因此…………………6分
方法二：……………2分
…………………4分
由于，所以…………………6分
(Ⅱ)方法一：由余弦定理得 …………………8分
而，
得，即
因为，所以…………………10分
故△的面积……………………12分
方法二：由正弦定理得从而
又由，知，所以为锐角，…………………8分
故……………10分
所以……………………12分
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(18)解: (1) ∵令,则............................1分
,.............................2分
.......................................3分
∴ .....................................................................4分
∴,..................................................................................5分
∴,............................................................................................................6分
(
说明整个的求解是4分(从3分至6分段)，如果用该写法结果不正确，但有过程，则统一给1分）
∴..........................................................................7分
∴所求的回归方程是.........................................................................8分
(2) 由.............................9分
知与
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之间是负相关;...............................................................10分
将代入回归方程可预测该店当日的销售量
................................11分
（千克）................................................................................12分
（19）解：（Ⅰ）连结与交于点，则为的中点，连结， ∵为线段的中点，∴且 ……………2分
又且
∴且
∴四边形为平行四边形， ………4分
∴, 即．
又∵平面, 面,
∴,
∵, ∴, ………………6分
（Ⅱ）∵平面，平面,
∴平面平面
∵，平面平面，平面，
∴平面.………………8分
三棱锥的体积 ………………10分
……12分
20.解：（Ⅰ）设点，则由得，因为点在抛物线上，……………………………分
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（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，
联立得
由韦达定理得……………………………分
（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得.………分
（2）当直线不经过点即且时，，………分
………………………分
所以的最小值为.………………………分
方法二：同上
……………………分
………………分
故，所以的最小值为……………分
方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得：
化简整理得：……………分
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，令，则…………………分
…………………分
…………………分
（21）解：（Ⅰ）函数的定义域是
……………………2分
当时，
对任意恒成立，
所以，函数在区间单调递增；……………………4分
当时，
由得，由得
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。……………………分
（Ⅱ）当时，，要证明，
只需证明，设，
则问题转化为证明对任意的，……………………分
令得，
容易知道该方程有唯一解，不妨设为，则满足
当变化时，和变化情况如下表
－
递减
递增
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……………………分
因为，且，所以，因此不等式得证。………………分
（22）解：（Ⅰ）直线的参数方程是，（为参数），
消去参数可得．……………………分
由，得，
可得的直角坐标方程：．……………………分
（Ⅱ）把（为参数），代入，
得，……………………分
由，解得．
∴．
∵，∴，
解得或1．又满足．∴实数或1．……………………分
（23）解：（Ⅰ）∵
………………2分
………4分
………………5分
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综上，不等式的解集为： ………6分
（Ⅱ）存在使不等式成立…………7分
由（Ⅰ）知，时，
时， ……………………8分
…………………9分
∴实数的取值范围为 …………………10分
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