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- 2024-04-12 发布
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黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．复数等于（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】分析：直接由复数的除法运算得到结果即可.
详解：
故答案为：D.
点睛：本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
2．设集合小于7的正整数，，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先用列举法写出U，B，根据交集、补集的意义直接求解即可．
详解：U={1，2，3，4，5，6}，
对于B，解+1≤0可得2＜x≤5，
又由x∈N，则B={3，4，5}
CUB={1，2，6}，
A={1，2，5}
则A∩（CUB）={1，2}，
故选：C．
点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合元素的性质，及集合的运算，是简单的基础题，注意集合的运算顺序：先求补，再求交．
3．设命题P：且，则是（ ）
A. 且 B. 或
C. 且 D. 或
【答案】D
【解析】
试题分析：命题的否定既要否定条件，又要否定结论，故选D
考点：命题的否定
4．已知函数，则不等式的解集为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．
详解：由于，
当x＞0时，3+log2x≤5，即log2x≤2=log24，解得0＜x≤4，
当x≤0时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，
∴不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，4]，
故选：B．
点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.
5．若实数满足，则关于的函数图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．
详解：∵，
∴f（x）=（）|x﹣1|
其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，
又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，
对照选项，只有B正确．
故选：B．
点睛：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．一般给出函数表达式求函数图像的问题，可以从函数的定义域入手，值域入手，检验式子和图像是否一致，也可以考查函数的对称性和特殊点.
6．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意可先判断出在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围
详解：∵在（0，+∞）上单调递增
又∵f（x）是定义在R上的奇函数
根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增
∴f（x）在R上单调递增
∵f（2﹣a2）＞f（a）
∴2﹣a2＞a
解不等式可得，﹣2＜a＜1
故选：C．
点睛：本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题.偶函数，比较函数值大小时，比较的是距离对称轴的 ，离轴越远函数值越大或者越小.
7．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )
A. 288种 B. 144种 C. 72种 D. 36种
【答案】B
【解析】试题分析：从4题种选一道作为不被选中的题有4种，从4位教师中选2位，这两位是选同样题目的有种，被选中两次的题目有3种方案，剩下的两位教师分别选走剩下的2题，共种.
考点：排列组合.
8．已知（）是函数的一个零点，若， ，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】分析：在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=的图象，由图可得结论．
详解：令 f（x）=lnx﹣=0，从而有lnx=，
此方程的解即为函数f（x）的零点，
在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=的图象，
由图可得f（a）＜0，f（b）＞0，
故选：D．
点睛：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，构造两个函数的交点问题求解，对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个不是常函数，注意让不是常函数的式子尽量简单一些。
9．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：通过x≥0，都有f（x+2）=f（x），可得当x≥0时函数的周期为T=2，然后由函数为偶函数可得f（﹣2 018）+f（2 019）=f（0）+f（1），代入可求．
详解：由对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），
∴函数的周期为T=2
∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，x∈[0，2），f（x）=log2（x+1）
∴f（﹣2018）+f（2019）=f（2018）+f（2019）
=f（0）+f（1）=log21+log2（1+1）=1．
故答案为：C.
点睛：本题考查了函数性质：函数的奇偶性、函数的周期的综合运用，及转化的思想在解题中的运用，解答本题的关键是熟练掌握函数的性质及一些常用的反映函数性质的结论，一般 函数的对称轴为a， 函数的对称中心为（a,0）.
10．如图，设抛物线的顶点为，与轴正半轴的交点为，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为，随机往内投一点，则点落在内的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：求出直线与坐标轴围成三角形的面积，及抛物线与坐标轴围成的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率．
详解：由题意可知抛物线y=﹣x2+1的顶点为A（0，1），与x轴正半轴的交点为B（1，0），
∴△AOB的面积为：．
抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，
面积为：
随机往M内投一点P，则点P落在△AOB内的概率满足几何概型；
∴随机往M内投一点P，则点P落在△AOB内的概率是：
故选：A．
点睛：本题考查几何概型在求解概率中的应用，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．
11．已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有，记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由条件判断函数 在（0，+∞）上是增函数，再根据a，b，c的值，可得 b＜c＜a．
详解：f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，
不妨假设0＜x1 ＜x2，都有，
即
∴函数在（0，+∞）上是增函数．
∵＜logπ3＜20.2，而a=，b==，c=，
∴b＜c＜a，
故答案为：D.
点睛：本题主要考查函数的单调性的应用，属于中档题．一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。
12．已知定义在上的可导函数满足： ，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】令，则，所以函数在上单调递减.
因为，所以
，选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
13．函数在点处的切线方程为______________.
【答案】
【解析】分析：根据题意，求出函数的导数以及f（1）的值，由函数导数的几何意义可得切线方程；
详解：根据题意，f（x）=x﹣2lnx，则
又由f′（1）=﹣1，f（1）=1，
则f（x）的切线方程为：x+y﹣2=0；
点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
14．已知为奇函数，，则__________.
【答案】3
【解析】分析：由g（-1）=f（-1）+6=3，求出f（1）=﹣3，再由奇函数的关系式得f（1）=﹣f（-1）=3．
详解：由g（-1）=3得，g（-1）=f（-1）+6=3，，解得f（1）=﹣3，
∵f（x）是奇函数，∴f（1）=﹣f（-1）=3，
故答案为：3．
点睛：本题考查了利用奇函数的关系式：f（﹣x）=﹣f（x）求值，属于基础题．
15．在的二项展开式中,的系数为________.
【答案】
【解析】分析：根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么．
详解：∵二项式展开式的通项公式是
Tr+1=
令10﹣3r=1，解得r=3；
∴T3+1=（﹣1）3••22••x；
∴x的系数是﹣•22•=．
故答案为：．
点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。
16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称为函数的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是____________.
①； ②； ③，；④； ⑤
【答案】①②④
【解析】
试题分析：：①由得：，则①具有“反比点”．
②设h（x）=xsinx-1，∵h（0）=-1＜0，，
∴h（x）=xsinx-1=0⇒xsinx=1在(0，)上有解，所以②具有“反比点”．
③由，所以③不具有“反比点”；
④若令，g（0）=-1＜0，g（1）=e-1＞0④具有“反比点”
⑤若在（0，+∞）上 有解，令h（x）=xlnx⇒h'（x）=lnx+1=0⇒，
可得h（x）在有最小值，而，所以⑤不具有“反比点”，
考点：函数与方程的综合运用；函数求值
评卷人
得分
三、解答题
17．平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的参数方程(为常数)和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与交于、两点，且，求倾斜角的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由已知可得直线的参数方程为： （为参数），曲线的极坐标方程为可得，即可得出普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程得到，则有，利用参数的意义即可得出.
试题解析：(1)直线的参数方程为 (为参数)，曲线的直角坐标方程： .
(2)把直线的参数方程代入，得， ， ，根据直线参数的几何意义， ，得或.又因为，所以.
18．已知函数
（1）若,求函数的单调减区间；
（2）若的极小值大于0，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）将参数值代入，对函数求导，根据导函数的正负得到单调区间；（2）（Ⅱ）通过讨论k的范围，判断f′（x）的符号，得到函数f（x）的单调区间，求得极小值的表达式，使之大于0，求出k的范围即可．
详解：
(1) 依题意可知,令，可得,若,则, 因此的单调减区间为
(2)当时,若,则在上小于0,在上大于0,
若,则在上小于0, 在上大于0,
因此是的极小值点,
当时, 则在上小于0,在上大于0,
因此是的极小值点
当时, 没有极小值点,不符合题意.
综上, .
点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，还有就是求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。
19．2015年12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为
，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若，则长势为一级；若，则长势为二级；若，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：
种植地编号
种植地编号
（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标相同的概率；
（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】分析：（1）由表可知：空气湿度指标为0的有A1，空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，由此能求出这两地的空气温度的指标z相同的概率；（2）由题意得长势等级是一级（ω≥4）有A2，A3，A4，A6，A7，A9，长势等级不是一级（ω＜4）的有A1，A5，A8，A10，从而随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
详解：
（1）由表可知：空气温度指标为的有；
空气温度指标为的有,空气温度指标为的有.
所以空气温度指标相同的概率.
（2）计算块青蒿人工种植地的综合指标, 可得下表：
编号
综合指标
其中长势等级是一级的有，共个，长势等级不是一级的有，共个.
随机变量的所有可能取值为：.
,
,
,所以的分布列为：
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”
，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.
20．如图，在三棱锥中，平面平面， ， ， ， 分别为线段上的点，且， ， .
（1）求证： 平面；
（2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角.
【答案】(1)证明见解析；(2)30°.
【解析】试题分析：
（1）由条件可得为直角三角形，且．故由余弦定理可得，所以，从而，又由条件可得，故平面．（2）由两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面的法向量和平面的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小．
试题解析：
（1）证明：连，由题意知．
∴
在中，由余弦定理得
,
∴,
∴,
又因为，
∴
又 ，
又， ，
∴平面．
（2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
由与平面所成的角为，知，
则
∴
因为
由（1）知 平面，
∴平面
∴为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
则 ∴，
令，则，
∴为平面的一个法向量.
∴
故平面与平面的锐二面角的余弦值为,
所以平面与平面的锐二面角为．
点睛：
（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量．
（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．
21．如图，在平面直角坐标系中， 已知圆 ，椭圆 ，为椭圆右顶点．过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中．设直线的斜率分别为．
（1）求的值；
（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；
（3）求证：直线必过点．
【答案】（1）（2）（3）详见解析
【解析】试题分析：（1）设，则，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（2）联立直线的方程和圆方程，求得的坐标；联立直线的方程和椭圆方程，求得的坐标，再求直线，和直线的斜率，即可得到结论；
试题解析：（1）设，则，
所以
（2）联立得，
解得，
联立得，
解得，
所以，，
所以，故存在常数，使得．
考点：椭圆的简单性质．
【方法点晴】本题考查椭圆的方程和性质，在（1）中，设出点坐标，利用对称性得到点坐标，表达出斜率，利用点在椭圆上，整体代换的思想求出结果；考查直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查直线方程和圆方程联立，求得交点,直线的斜率和方程的运用，就化简整理的运算能力，对运算能力要求较高，属于中档题．
22．已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；
（3）若，且，证明：.
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意x>0，由此根据k≤0，k>0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（2）问题转化为，对于x∈[e，e2]恒成立，令，则，令，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．
（3）设，则，要证，只要证，即证，由此利用导数性质能证明.
试题解析：
（1），
①时，因为，所以，
函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；
②当时，令，解得，
当时，；当，．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
在区间上的极小值为，无极大值．
（2）由题意，，
即问题转化为对于恒成立，
即对于恒成立，
令，则，
令，则，
所以在区间上单调递增，故，故，
所以在区间上单调递增，函数．
要使对于恒成立，只要，
所以，即实数k的取值范围为．
（3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．
不妨设，则，
要证，只要证，即证．
因为在区间上单调递增，所以，
又，即证，
构造函数，
即，．
，
因为，所以，即，
所以函数在区间上单调递增，故，
而，故，
所以，即，所以成立．
证法2 要证成立，只要证：.
因为，且，所以，
即，，
即，
，同理，
从而，
要证，只要证，
令不妨设，则，
即证，即证，
即证对恒成立，
设，，
所以在单调递增，，得证，所以.