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- 2024-04-11 发布
三明一中 2019-2020 上学年第一次月考
高二数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题:本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。其中第 1-8 题为单选题，第 9-10 题为多选题。
1．命题“ $x Î R ， x 3 - x 2 +1 > 0 ”的否定是
0 0 0
0 0
A． "x Î R ， x3 - x2 +1≤0
B． $x0
Î R ， x 3 - x 2 +1< 0
0 0
C． $x0
Î R ， x 3 - x 2 +1£ 0
D． "x Î R ， x3 - x2 +1 > 0
2. 抛物线 x2 = 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. l，m 为直线，a 为平面，其中l Ë a, m Ì a 则“ l // a ”是“ l // m ”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 双曲线mx2 + y 2 = 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则m 等于
1
A. - B. - 4
4
1
C.4 D.
4
2
2
+ =
5. 掷二枚均匀的股子得到的点数分别为m, n ，则“曲线 x y 1表示焦点在 x 轴上的椭圆”的概率为
m n
1 5 1 7
A． B． C． D．
3 12 2 12
x2
6. 已知椭圆
a2
2
y
+ = 1 (a > b > 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在椭圆上，且 BF ^ x 轴，直线 AB
b2
交 y 轴于点 P ．若 AP = 2PB ，则椭圆的离心率是
3
2
A. B．
2 2
1 1
C． D．
3 2
7．已知两圆C : (x - 4)2 + y2 = 169,C : (x + 4)2 + y
= 9 ，动圆在圆C 内部且和圆C 相内切，和圆C 相
1 2 2
外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为
1 1 2
- =
x2 y2
A. 1
64 48
x2 y2
+ =
B. 1
48 64
x2 y2
- =
C. 1
48 64
x2 y2
+ =
D. 1
64 48
8．若 P, Q 分别为抛物线 x2 = 4 y 与圆 x2 + ( y - 3)2 = 1的动点，则 PQ 的最小值为
A． 2 2 -1
B． 2 C． 2 3 -1
D． 3
（第 9、10 题为多选题）
9. 以下几种说法正确的是
A. 平面上到一个定点与到一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线
B. 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个交点
2
C. P 为椭圆上 x2 + y
3
p
= 1一点， F1.F2 为椭圆的两焦点，则椭圆上能满足ÐF1PF2 = 2 的点 P 共有 4 个。
x2 y2
D. 若双曲线
-
a2 b2
= 1(a > 0, b > 0) 右支上存在一点 P ，使 PF1
3
= 5 PF2
， F1, F2 分别为左右焦点，
则双曲线离心率e Î (1, ]
2
1 1 2 2
10. AB 为过抛物线 y2 = 2x 焦点 F 的一条弦，点 A, B 在抛物线上。其中 A(x , y ), B(x , y ) ，以下说法
错误的是
A 以线段 AB 为直径的圆必与抛物线的准线相切B．弦 AB 的最短长度为 2
C． y1 y2 = -4
D．当直线 AB 的斜率为 2 时，弦 AB 的中点坐标为(1,1)
二、填空题:本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 抛物线 y = 4x2 的焦点坐标是 *****
12. 分别以椭圆
x2 + y2 =
12 3
1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为*****
13. 已知命题 p :
为*****
x - 3 < 2 ，命题q :
1
x - a
> 0 。命题Øp 是Øq 成立的必要不充分条件，则a 的取值范围
14. 圆 A 的圆心在 y2 = 4x( y > 0) 上，且和抛物线的准线及 x 轴都相切，则圆 A 的方程为*****
9. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上， DABC 三个顶点都在抛物线上，且DABC 的重心为抛物线的焦点，若 BC 所在的直线的方程为4x + y - 20 = 0 ，则抛物线方程为*****
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤.
16．（12 分）命题 p :
2 2
y
x
曲线 + = 1为双曲线 命题
q : x
2 - mx + 1 > 0 的解集为 R ,
m m + 2 4
(1) 若命题 P 中 m = -1，求此双曲线的渐近线方程。
(2) 若 p Ù q 为假命题， p Ú q 为真命题，求m 的取值范围。
17．（12 分）直线l : y = 2x -1与抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 交于 A, B 两点,且OA ^ OB ， O 为坐标原点，
（1） 求抛物线的方程
（2） 求直线l 被抛物线截得的弦长 AB
3
2 y2
18．（12 分）椭圆C 与双曲线 x - = 1共焦点，且过点 M (1, )
2 2
(1) 求椭圆C 的方程；
（2） 若 P 为椭圆上一点，且满足ÐF PF = 600 , F , F 为焦点，求DF PF 的面积。
1 2 1 2 1 2
19．（13 分）已知函数 f (x) = 2x ，集合 A = {x 1 £ x £ 2} ．
（1） 记函数 f (x) 在 A 上的值域为C ，若函数G(x) = x2 + 2x + t ，x Î[0,1] 的值域为 B ，且C B = B ， 求实数t 的取值范围；
（2） 若"x Î A,[ f (log2x )]2 + 2af (log2x ) + a > -5 恒成立，求实数a 的取值范围．
x2
20. （13 分）已知椭圆
a2
动点， O 为坐标原点.
2
3
y
+ = 1（ a > b > 0 ）过点 B(0,1) ，离心率为 b2 2
，P, Q 是椭圆上异于点 B 的
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 若直线QB 与 x 轴交于点 N 且 BQ ∥ OP ，问是否存在实数l ，使得 | BQ | | BN |= l | OP |2 恒成立？若存在，求出l 的值；若不存在，请说明理由.
21．（13 分）如图， A - B - C - D - E - F 是一个滑滑板的轨道截面图，其中 AB, DE, EF 是线段，
B - C - D 是一抛物线弧，点C 是抛物线的顶点；直线 DE 与抛物线在 D 处相切，直线l 是地平线.已知点 B 离地面l 的高度是 9 米，离抛物线的对称轴距离是 6 米，直线 DE 与
l 的夹角是 45°.现以地平线l 为 x 轴，以点C 为原点建立如图的平面直角坐标系.
（1） 求抛物线方程，并确定 D 点的坐标;
（2） 现将抛物线弧 B - C - D 改造成圆弧，要求圆弧经过点 B, D ，
且与直线 DE 在点 D 处相切，试判断圆弧与地平线l 的位置关系，并求该圆弧长.