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- 2024-04-10 发布
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山东省泰安第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题
评卷人
得分
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】由可得，所以当成立时可得到成立，反之不成立，所以是的必要不充分条件，选B.
2．等差数列{an}中，a4=13，a6=9，则数列{an}前9项的和S9等于（ ）
A．66 B．99 C．144 D．297
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的性质可得，a1+a9=a4+a6，代入求和公式S9=可求．
【详解】
等差数列{an}中，a4=13，a6=9，∴a1+a9=a4+a6=22，则数列{an}前9项的和S9==99.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．
3．下列结论正确的是
A.若，则 B．若，则
C.若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】出题考查不等式的性质
所以不能推导出，A错
B对
因为不知道的正负情况，所以C,D是错的
答案 B
点评：不等式两边同时乘以或者除以一个负数时，不等式要变化。
4．命题“∀，||”的否定是（ ）
A．∀， || B．∀， ||
C．∃，|| D．∃，||
【答案】C
【解析】
试题分析：根据全称命题的否定形式，可知应该为 ，||，故选C．
考点：含有量词命题的否定．
5．已知数列{an}，a1=1，an+an+1=3，则S2017等于（ ）
A．3009 B．3025 C．3010 D．3024
【答案】B
【解析】
【分析】
由数列的递推式可得奇数项为1，偶数项为2，S2017=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2015+a2016）+a2017，计算可得所求和．
【详解】
数列{an}，a1=1，an+an+1=3，可得a2=2，a3=1，a4=2，…，即奇数项为1，偶数项为2，则S2017=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2015+a2016）+a2017=3+3+…+3+1=3×1008+1=3025．
故选B．
【点睛】
本题考查数列的求和，注意运用分组求和，考查运算能力，属于基础题．
6．已知2m+n=1，m，n＞0，则+的最小值为（ ）
A． B．8 C．9 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，+=(+)(2m+n)，展开利用基本不等式即可求解．
【详解】
∵2m+n=1，m，n＞0，则+=(+)(2m+n)=5++≥5+4=9，
当且仅当m=n=时取等号，故+的最小值为9.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是进行1的代换．
7．等差数列的首项，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余
下的10项的平均值为4.6，则抽去的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：设出抽取的为第n项，根据所给的条件求出第六项求出公差，根据首项和求出的公差d写出等差数列的通项公式，令通项公式等于15列出关于n的方程，解方程即可．
解答：解：设抽去的是第n项．
∵前11项的平均值为5，从前11项中抽去某一项后，余下的10项平均值为4.6
∴S11=55，S11-an=46，
∴an=9，
又∵S11=11a6=55．
解得a6=5，
由a1=-5，得d==2，
令9=-5+2（n-1），
∴n=8
故选B
点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，本题解题的关键是熟练应用公式，注意能够把所求的问题的实质看清楚，本题是一个中档题目．
8．已知，给出下列四个结论：
①a＜b ②a+b＜ab ③|a|＞|b| ④ab＜b2
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】B
【解析】
试题分析：，∴b＜a＜0．
①a＜b，错误．
②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．
③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．
④，∵b＜a＜0，∴a-b＞0，即，∴ab＜b2成立．
∴正确的是②④．
考点：不等式的性质
9．已知F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．
【详解】
根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|=，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac-c2＞0，两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）.
故选A．
【点睛】
本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
10．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和为An和Bn，且=，则为（ ）
A．13 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的性质和前n项和公式，将转化为,再代入求值．
【详解】
∵等差数列{an}和{bn}的前n项和为An和Bn，且=, 则= =9.
故选D.
【点睛】
本题考查了等差数列的性质和前n项和公式灵活应用，是常考的题型，注意总结．
11．若点O（0，0）和点分别是双曲线-y2=1（a＞0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点M，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据M，F，O的坐标表示, 进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得的取值范围．
【详解】
设M（m，n），A（a，0），则=（m，n）•（m-a，n）=m2-am+n2．
由F（，0）是双曲线-y2=1（a＞0）的右焦点，可得a2+1=3，即a=, 则双曲线方程为-y2=1, 由点M为双曲线右支上的任意一点，可得-n2=1（m≥）即有n2=-1, 则=m2- m+n2=m2-m+-1=-m-1可得函数在[,+∞）上单调递增，即有m2- m2- m+n2≥2-2+1-1=0.
故选D.
【点睛】
本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
12．设，分别为椭圆：与双曲线： 的公共焦点，它们在第一象限内交于点，
，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：设，则，又，，所以，，则，由得，又，所以，即，所以．故选B．
考点：椭圆与双曲线的性质．
【名师点睛】本题是椭圆与双曲线的综合题，解题时要注意它们性质的共同点和不同点，如离心率是相同的，准线方程是，但椭圆中有，，双曲线中有，，这在解题时要特别注意不能混淆，否则易出错．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn=2n-1，则a12+a22+…+an2=______．
【答案】
【解析】
【分析】
等比数列{an}中，由前n项的和为Sn=2n-1则可求出即可得出等比数列的公比，即可求得an2的表达式，即可求和.
【详解】
由题意可得 a1=1，a2=s2-s1=3-1=2，则等比数列{an}的公比为2，所以{ an2}的公比为4，首项为1,所以a12+a22+…+an2=.
故答案为
【点睛】
本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题.
14．已知双曲线的渐近线方程为, 并且焦距为20,则双曲线的标准方程为
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线的标准方程为
有，又焦距为20,所以；则双曲线的标准方程为
有，又焦距为20,所以；则双曲线的标准方程为
15．当时，不等式恒成立，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】不等式恒成立，则： 恒成立，考虑区间为开区间，则 ，
结合二次函数的性质可得，对于二次函数 ，
当 时，函数取得最大值 ，
综上可得， 的取值范围是.
点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．
16．已知为椭圆上任意一点， 为圆的任意一条直径，则的取值范围是__________．
【答案】[5,21]
【解析】因为
.
又因为椭圆的，
N(1,0)为椭圆的右焦点，
∴
∴.
故答案为：[5,21].
评卷人
得分
三、解答题
17．设命题p：实数x满足x2-2ax-3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≥0．
（Ⅰ）若a=1，p，q都为真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）[2，3）； （Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）把a=1代入x2-2ax-3a2＜0，化为x2-2x-3＜0，可得-1＜x＜3；求解分式不等式可得q为真命题的x的范围，取交集得答案；
（Ⅱ）求解x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得-a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，由q是p的充分不必要条件，可得[2，4）⊊（-a，3a），由此列关于a的不等式组求解．
【详解】
（Ⅰ）a=1，则x2-2ax-3a2＜0化为x2-2x-3＜0，即-1＜x＜3；
若q为真命题，则≥0，解得2≤x＜4．
∴p，q都为真命题时x的取值范围是[2，3）；
（Ⅱ）由x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得a＜x＜3a，
由≥0，得2≤x＜4，
∵q是p的充分不必要条件，∴[2，4）⊊（a，3a），
则，即．
【点睛】
本题考查复合命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
18．已知数列{an}为等比数列，a1=2，公比q＞0，且a2，6，a3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an，，求使的n的值．
【答案】（1）； （2）n的取值为1，2，3，4，5.
【解析】
【分析】
（1）由a2，6，a3成等差数列，知12=a2+a3，由{an}为等比数列，且a1=2，故12=2q+2q2，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由bn＝log22n＝n，知bnbn+1＝由此利用裂项求和法能够求出由的n的取值．
【详解】
（1）由a2，6，a3成等差数列，
得12=a2+a3…（2分）
又{an}为等比数列，且a1=2，
故12=2q+2q2,解得q=2，或q=-3，
又q＞0,∴q=2，
∴,
（2）∵，
∴,
∴,
故由，得n＜6，又n∈N*
∴n的取值为1，2，3，4，5．
【点睛】
本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
19．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作x轴的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3+=，求直线l的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=±（x﹣2）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得，，解出求出 、的值即可得出椭圆的方程；（Ⅱ）由题意得点，设直线方程为，将直线，代入椭圆方程得到
，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系列方程即可得出 的值，从而可求得直线方程．
试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），
由题意得=， +=1，a2=b2+c2．
解得a2=6，b2=c2=3，则椭圆C： ==1．
（Ⅱ）由题意得点Q（2，0），
设直线方程为x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），
由3+=，得3y1+y2=0，
y1+y2=﹣2y1，y1y2=﹣3，得到=﹣（*）
将直线x=ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，
∴y1+y2=，y1y2=，代入（*）式，解得：t2=，
∴直线l的方程为：y=±（x﹣2）．
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和平面向量的线性运算，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2.当n≥2时，Sn－1＋1，an，Sn＋1成等差数列．
(1)求证：{Sn＋1}是等比数列；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
【答案】（1）见解析
（2）Tn＝
【解析】解：(1)证明：∵Sn－1＋1，an，Sn＋1成等差数列，
∴2an＝Sn＋Sn－1＋2(n≥2)．
∴2(Sn－Sn－1)＝Sn＋Sn－1＋2，即Sn＝3Sn－1＋2，
∴Sn＋1＝3(Sn－1＋1)(n≥2)．
∴{Sn＋1}是首项为S1＋1＝3，公比为3的等比数列．
(2)由(1)可知Sn＋1＝3n，∴Sn＝3n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1.
又a1＝2，∴an＝2×3n－1(n∈N*)．nan＝2n·3n－1
∴Tn＝2＋4×3＋6×32＋…＋2(n－1)×3n－2＋2n×3n－1，①
3Tn＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2(n－1)×3n－1＋2n×3n，②
由①－②得，
－2Tn＝2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－2n×3n＝－2n×3n＝3n－1－2n×3n，
∴Tn＝.
21．某科研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系： ．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：百元）．
（1）求的函数关系式；
当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．
【解析】
【分析】
（1）收入等于售价乘以产量： ，减去成本即为利润（2）求分段函数最值，先求各段函数最大值，再取两者最大值中较大的，一个是二次函数最值，注意研究对称轴与定义区间位置关系，一个是对勾函数，利用基本不等式求最值，注意等于号是否取到.
【详解】
（1）
（2）当
当
当且仅当时，即时等号成立
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．
【点睛】
这个题目考查了函数的实际应用；对于这种题目，首先理解好题意，找到函数模型，列出数学表达式，注意函数的定义域要结合实际。在处理表达式时，通常会遇到求函数的最值和值域的问题，可能通过换元将函数转化为熟悉的二次函数，或单调函数的模型.
22．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．
（1）求a，b的值．
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．
（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；
（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．
【答案】（1）＋y2＝1．（2）（ⅰ）m＝±时，S△OAB取得最大值1．（ⅱ）±.
【解析】
试题分析：（1）由椭圆几何条件知上顶点到焦点的距离为半长轴长，即a＝2，又e，所以c＝，故b＝1．（2）（ⅰ）求△OAB面积的最大值，关键建立其函数关系式，这要用到点到直线距离公式来求高，利用两点间距离公式来求底边边长：设点P（m，0）（－2≤m≤2），直线l的方程为y＝x－m．则可求得∣AB|＝，高为，从而S△OAB＝×|m|，利用基本不等式求最值（ⅱ）由题意先表示出PA2＋PB2，再按m整理，最后根据与点P的位置无关得到对应项系数为零，从而解出k的值．
试题解析：（1）由题设可知a＝2，e，所以c＝，故b＝1．
因此，a＝2，b＝1． 2分
（2）由（1）可得，椭圆C的方程为＋y2＝1．
设点P（m，0）（－2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．
(ⅰ)若k＝1，则直线l的方程为y＝x－m．
联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得
－2mx＋m2－1＝0．从而有x1＋x2＝，x1· x2＝，
而y1＝x1－m，y2＝x2－m，
因此，∣AB|＝
点O到直线l的距离d＝，
所以，S△OAB＝×|AB|×d＝×|m|，
因此，S2△OAB＝( 5－m2)×m2≤＝1．
6分
又－2≤m≤2，即m2∈[0，4]．
所以，当5－m2＝m2，即m2＝， m＝±时，S△OAB取得最大值1．
8分
(ⅱ)设直线l的方程为y＝k(x－m).
将直线l与椭圆C的方程联立，即．
将y消去，化简得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，
x1＋x2＝，x1·x2＝．
10分
所以，
PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝(x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2
＝（*）. 14分
因为PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，
所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±．
所以，k的值为±. 16分
考点：椭圆基本量，直线与椭圆位置关系